7.6 Splines
283
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
(a)
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
(b)
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
(c)
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
(d)
Fig. 7.10. Spline d’interpolation (a) et ses d´ eriv´ ees d’ordre un (b), deux (c) et trois
(d) (traits pleins) pour la fonction de l’exemple de Runge (traits discontinus)
On d´ eduit de (7.44) que les noeuds actifs de B i,k+1 (x) sont x i , . . ., x i+k+1 et
que B i,k+1 (x) est non nulle seulement sur l’intervalle [x i , x i+k+1 ].
On peut montrer que c’est l’unique spline non nulle de support minimum relative aux noeuds x i , . . . , x i+k+1 [Sch67]. On peut aussi montrer que
B i,k+1 (x) ≥ 0 [dB83] et |B
(l)
i,k+1 (x i )| = |B
(l)
i,k+1 (x i+k+1 )| pour l = 0, . . ., k − 1
[Sch81]. Les B-splines satisfont la relation de r´ ecurrence suivante ([dB72],
[Cox72]) :
B i,1 (x) =
1 si x ∈ [x i , x i+1 ],
0 sinon,
B i,k+1 (x) =
x − x i
x i+k − x i
B i,k (x) +
x i+k+1 − x
x i+k+1 − x i+1
B i+1,k (x), k ≥ 1,
(7.45)
qui est g´ en´ eralement pr´ ef´ er´ ee ` a (7.44) quand on ´ evalue une B-spline en un
point donn´ e.
Remarque 7.2 En g´ en´ eralisant la d´ efinition des diff´ erences divis´ ees, il est
possible de d´ efinir des B-splines quand certains noeuds co¨ ıncident. On introduit pour cela la relation de r´ ecurrence suivante pour les diff´ erences divis´ ees