282
7 Interpolation polynomiale
Propri´ et´ e 7.3 Soit f ∈ C
4 ([a, b]) et soit une partition de [a, b] en sousintervalles de longueur h i . On note h = max i h i et β = h/ min i h i . Soit s 3 la
spline cubique interpolant f. Alors
(r)
− s
(r)
3 ∞ ≤ C r h
4−r
f
(4)
∞ ,
r= 0, 1, 2, 3,
(7.41)
avec C 0 = 5/384, C 1 = 1/24, C 2 = 3/8 et C 3 = (β + β
−1 )/2.
Par cons´ equent, la spline s 3 ainsi que ses d´ eriv´ ees premi` ere et seconde
convergent uniform´ ement vers f et vers ses d´ eriv´ ees quand h tend vers z´ ero.
La d´ eriv´ ee troisi` eme converge ´ egalement, ` a condition que β soit uniform´ ement
born´ e.
Exemple 7.7 La Figure 7.10 montre la spline cubique approchant la fonction de
l’exemple de Runge, et ses d´ eriv´ ees premi` ere, seconde et troisi` eme, sur une grille
de 11 noeuds ´ equir´ epartis. On a indiqu´ e dans la Table 7.4 l’erreur s3 − f ∞ en
fonction de h ainsi que l’ordre de convergence p. Les r´ esultats montrent clairement
que p tend vers 4 (l’ordre th´ eorique) quand h tend vers z´ ero.
•
Table 7.4. Erreur d’interpolation commise pour la fonction de Runge avec des
splines cubiques
h
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
s 3 − f ∞ 0.022 0.0032 2.7741e-4 1.5983e-5 9.6343e-7
p
–
2.7881 3.5197
4.1175
4.0522
7.6.2 B-splines
Nous revenons maintenant aux splines quelconques de degr´ e k, et nous allons
d´ efinir la base de B-splines (ou bell-splines) en utilisant les diff´ erences divis´ ees
introduites `
a la Section 7.2.1.
D´ efinition 7.2 On d´ efinit la B-spline normalis´ ee B i,k+1 de degr´ e k relative
aux noeuds distincts x i , . . . , x i+k+1 par
B i,k+1 (x) = (x i+k+1 − x i )g[x i , . . . , x i+k+1 ],
(7.42)
o` u
g(t) = (t − x)
k
+ =
(t − x)
k
si x ≤ t,
0
s i n o n .
(7.43)
En substituant (7.18) dans (7.42), on obtient l’expression explicite suivante
B i,k+1 (x) = (x i+k+1 − x i )
k+1
j=0
(x j+i − x)
k
+
k+1
l=0
l =j
(x i+j − x i+l )
.
(7.44)
7 Interpolation polynomiale
Propri´ et´ e 7.3 Soit f ∈ C
4 ([a, b]) et soit une partition de [a, b] en sousintervalles de longueur h i . On note h = max i h i et β = h/ min i h i . Soit s 3 la
spline cubique interpolant f. Alors
(r)
− s
(r)
3 ∞ ≤ C r h
4−r
f
(4)
∞ ,
r= 0, 1, 2, 3,
(7.41)
avec C 0 = 5/384, C 1 = 1/24, C 2 = 3/8 et C 3 = (β + β
−1 )/2.
Par cons´ equent, la spline s 3 ainsi que ses d´ eriv´ ees premi` ere et seconde
convergent uniform´ ement vers f et vers ses d´ eriv´ ees quand h tend vers z´ ero.
La d´ eriv´ ee troisi` eme converge ´ egalement, ` a condition que β soit uniform´ ement
born´ e.
Exemple 7.7 La Figure 7.10 montre la spline cubique approchant la fonction de
l’exemple de Runge, et ses d´ eriv´ ees premi` ere, seconde et troisi` eme, sur une grille
de 11 noeuds ´ equir´ epartis. On a indiqu´ e dans la Table 7.4 l’erreur s3 − f ∞ en
fonction de h ainsi que l’ordre de convergence p. Les r´ esultats montrent clairement
que p tend vers 4 (l’ordre th´ eorique) quand h tend vers z´ ero.
•
Table 7.4. Erreur d’interpolation commise pour la fonction de Runge avec des
splines cubiques
h
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
s 3 − f ∞ 0.022 0.0032 2.7741e-4 1.5983e-5 9.6343e-7
p
–
2.7881 3.5197
4.1175
4.0522
7.6.2 B-splines
Nous revenons maintenant aux splines quelconques de degr´ e k, et nous allons
d´ efinir la base de B-splines (ou bell-splines) en utilisant les diff´ erences divis´ ees
introduites `
a la Section 7.2.1.
D´ efinition 7.2 On d´ efinit la B-spline normalis´ ee B i,k+1 de degr´ e k relative
aux noeuds distincts x i , . . . , x i+k+1 par
B i,k+1 (x) = (x i+k+1 − x i )g[x i , . . . , x i+k+1 ],
(7.42)
o` u
g(t) = (t − x)
k
+ =
(t − x)
k
si x ≤ t,
0
s i n o n .
(7.43)
En substituant (7.18) dans (7.42), on obtient l’expression explicite suivante
B i,k+1 (x) = (x i+k+1 − x i )
k+1
j=0
(x j+i − x)
k
+
k+1
l=0
l =j
(x i+j − x i+l )
.
(7.44)