7.6 Splines
281
o` u les noeuds d’interpolation x j sont les entiers. La spline change de signe
entre chaque intervalle [x j−1 , x j ] et [x j , x j+1 ] et d´ ecroˆ ıt rapidement vers z´ ero.
En se restreignant au demi-axe positif, on peut montrer (voir [SL89]) que
l’extremum de la fonction sur l’intervalle [x j , x j+1 ] est ´ egal ` a l’extremum sur
l’intervalle [x j+1 , x j+2 ] multipli´ e par un facteur d’att´ enuation λ ∈]0, 1[. Ainsi,
des erreurs pouvant se produire sur un intervalle sont rapidement att´ enu´ ees
sur le suivant, ce qui assure la stabilit´ e de l’algorithme.
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Fig. 7.9. Spline cardinale
Nous r´ esumons maintenant les propri´ et´ es principales des splines d’interpolation cubiques et nous renvoyons `
a [Sch81] et [dB83] pour les preuves et
pour des r´ esultats plus g´ en´ eraux.
Propri´ et´ e 7.2 Soit f ∈ C
2 ([a, b]), et soit s 3 la spline cubique naturelle interpolant f. Alors
b
a
[s
3 (x)]
2 dx ≤
b
a
[f
(x)]
2 dx,
(7.40)
avec ´ egalit´ e si et seulement si f = s 3 .
Le r´ esultat ci-dessus, appel´ e propri´ et´ e de la norme du minimum, est encore
valable si, au lieu des conditions naturelles, on impose des conditions sur la
d´ eriv´ ee premi` ere de la spline aux extr´ emit´ es (dans ce cas, la spline est dite
contrainte, voir Exercice 11).
La spline d’interpolation cubique s f d’une fonction f ∈ C
2 ([a, b]), avec
s
f (a) = f
(a) et s
f (b) = f
(b), satisfait ´ egalement
b
a
[f
(x) − s
f (x)]
2 dx ≤
b
a
[f
(x) − s
(x)]
2 dx ∀s ∈ S 3 .
En ce qui concerne l’estimation de l’erreur, on a le r´ esultat suivant :