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7 Interpolation polynomiale
et x n−1 n’interviennent pas dans la construction de la spline cubique, celle-ci
est appel´ ee spline not-a-knot, avec pour noeuds “actifs” {x 0 , x 2 , . . . , x n−2 , x n }
et interpolant f aux noeuds {x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n−2 , x n−1 , x n }.
En g´ en´ eral, le syst` eme lin´ eaire obtenu est tridiagonal de la forme
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
λ 0 0
. . . 0
µ 1 2
λ 1
. . .
0
. . .
. . .
. . . 0
. . .
µ n−1 2
λ n−1
0
. . . 0
µ n 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
M 0
M 1
. . .
M n−1
M n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
d 0
d 1
. . .
d n−1
d n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(7.39)
et il peut ˆ etre efficacement r´ esolu par l’algorithme de Thomas (3.50).
Remarque 7.1 Il existe de nombreuses biblioth` eques concernant les splines
d’interpolation. Dans MATLAB, indiquons la commande spline, qui construit une spline cubique avec la condition not-a-knot introduite ci-dessus, et
la toolbox spline[dB90]. Indiquons aussi la biblioth` eque FITPACK [Die87a],
[Die87b].
Une approche compl` etement diff´ erente pour construire s 3 consiste ` a se
donner une base {ϕ i } de l’espace S 3 (de dimension n+3) des splines cubiques.
Nous consid´ erons ici le cas o` u les n + 3 fonctions de base ϕ i ont pour support
tout l’intervalle [a, b], et nous renvoyons `
a la Section 7.6.2 pour le cas o` u le
support est “petit”.
On d´ efinit les fonctions ϕ i par les contraintes d’interpolation suivantes
ϕ i (x j ) = δ ij , ϕ
i (x 0 ) = ϕ
i (x n ) = 0 pour i, j = 0, . . . , n,
et il faut encore d´ efinir deux splines ϕ n+1 et ϕ n+2 . Par exemple, si la spline
doit satisfaire des conditions sur les d´ eriv´ ees aux extr´ emit´ es, on impose
ϕ n+1 (x j ) = 0,
j = 0, ..., n, ϕ
n+1 (x 0 ) = 1, ϕ
n+1 (x n ) = 0,
ϕ n+2 (x j ) = 0,
j = 0, ..., n, ϕ
n+2 (x 0 ) = 0, ϕ
n+2 (x n ) = 1.
La spline a alors la forme suivante
s 3 (x) =
n
i=0
f i ϕ i (x) + f
0 ϕ n+1 (x) + f
n ϕ n+2 (x),
o` u f
0 et f
n sont deux valeurs donn´ ees. La base obtenue {ϕ i , i = 0, ..., n + 2},
appel´ ee base de splines cardinales, est souvent utilis´ ee dans la r´ esolution num´ erique d’´ equations diff´ erentielles ou int´ egrales. La Figure 7.9 montre une
spline cardinale typique calcul´ ee sur un intervalle (th´ eoriquement) non born´ e
7 Interpolation polynomiale
et x n−1 n’interviennent pas dans la construction de la spline cubique, celle-ci
est appel´ ee spline not-a-knot, avec pour noeuds “actifs” {x 0 , x 2 , . . . , x n−2 , x n }
et interpolant f aux noeuds {x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n−2 , x n−1 , x n }.
En g´ en´ eral, le syst` eme lin´ eaire obtenu est tridiagonal de la forme
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2
λ 0 0
. . . 0
µ 1 2
λ 1
. . .
0
. . .
. . .
. . . 0
. . .
µ n−1 2
λ n−1
0
. . . 0
µ n 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
M 0
M 1
. . .
M n−1
M n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
d 0
d 1
. . .
d n−1
d n
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(7.39)
et il peut ˆ etre efficacement r´ esolu par l’algorithme de Thomas (3.50).
Remarque 7.1 Il existe de nombreuses biblioth` eques concernant les splines
d’interpolation. Dans MATLAB, indiquons la commande spline, qui construit une spline cubique avec la condition not-a-knot introduite ci-dessus, et
la toolbox spline[dB90]. Indiquons aussi la biblioth` eque FITPACK [Die87a],
[Die87b].
Une approche compl` etement diff´ erente pour construire s 3 consiste ` a se
donner une base {ϕ i } de l’espace S 3 (de dimension n+3) des splines cubiques.
Nous consid´ erons ici le cas o` u les n + 3 fonctions de base ϕ i ont pour support
tout l’intervalle [a, b], et nous renvoyons `
a la Section 7.6.2 pour le cas o` u le
support est “petit”.
On d´ efinit les fonctions ϕ i par les contraintes d’interpolation suivantes
ϕ i (x j ) = δ ij , ϕ
i (x 0 ) = ϕ
i (x n ) = 0 pour i, j = 0, . . . , n,
et il faut encore d´ efinir deux splines ϕ n+1 et ϕ n+2 . Par exemple, si la spline
doit satisfaire des conditions sur les d´ eriv´ ees aux extr´ emit´ es, on impose
ϕ n+1 (x j ) = 0,
j = 0, ..., n, ϕ
n+1 (x 0 ) = 1, ϕ
n+1 (x n ) = 0,
ϕ n+2 (x j ) = 0,
j = 0, ..., n, ϕ
n+2 (x 0 ) = 0, ϕ
n+2 (x n ) = 1.
La spline a alors la forme suivante
s 3 (x) =
n
i=0
f i ϕ i (x) + f
0 ϕ n+1 (x) + f
n ϕ n+2 (x),
o` u f
0 et f
n sont deux valeurs donn´ ees. La base obtenue {ϕ i , i = 0, ..., n + 2},
appel´ ee base de splines cardinales, est souvent utilis´ ee dans la r´ esolution num´ erique d’´ equations diff´ erentielles ou int´ egrales. La Figure 7.9 montre une
spline cardinale typique calcul´ ee sur un intervalle (th´ eoriquement) non born´ e