7.6 Splines
279
Comme s 3,i−1 ∈ P 3 , s
3,i−1 est lin´ eaire et
s
3,i−1 (x) = M i−1
x i − x
h i
+ M i
x − x i−1
h i
pour x ∈ [x i−1 , x i ],
(7.37)
o` u h i = x i − x i−1 , pour i = 1, . . . , n. En int´ egrant deux fois (7.37) on obtient
s 3,i−1 (x) = M i−1
(x i − x)
3
6h i
+ M i
(x − x i−1 )
3
6h i
+ C i−1 (x − x i−1 ) +
C i−1 ,
les constantes C i−1 et
C i−1 sont d´ etermin´ ees en imposant les valeurs aux
extr´ emit´ es s 3 (x i−1 ) = f i−1 et s 3 (x i ) = f i . Ceci donne, pour i = 1, . . ., n − 1
C i−1 = f i−1 − M i−1
h
2
i
6
, C i−1 =
f i − f i−1
h i
−
h i
6
(M i − M i−1 ).
Imposons ` a pr´ esent la continuit´ e de la d´ eriv´ ee premi` ere en x i ; on obtient
s
3 (x
−
i ) =
h i
6
M i−1 +
h i
3
M i +
f i − f i−1
h i
= −
h i+1
3
M i −
h i+1
6
M i+1 +
f i+1 − f i
h i+1
= s
3 (x
+
i ),
o` u s
3 (x
±
i ) = lim
t→0
s
3 (x i ± t). Ceci conduit au syst` eme lin´ eaire suivant (appel´ e
syst` eme de M-continuit´ e)
µ i M i−1 + 2M i + λ i M i+1 = d i , i = 1, . . . , n − 1 ,
(7.38)
o` u on a pos´ e
µ i =
h i
h i + h i+1
,
λ i =
h i+1
h i + h i+1
,
d i =
6
h i + h i+1
f i+1 − f i
h i+1
−
f i − f i−1
h i
, i = 1, . . . , n − 1.
Le syst` eme (7.38) a n+1 inconnues et n−1 ´ equations ; 2 (i.e. k −1) conditions
restent donc ` a fixer. En g´ en´ eral, ces conditions sont de la forme
2M 0 + λ 0 M 1 = d 0 , µ n M n−1 + 2M n = d n ,
o` u 0 ≤ λ 0 , µ n ≤ 1 et d 0 , d n sont des valeurs donn´ ees. Par exemple, pour obtenir
les splines naturelles (satisfaisant s
3 (a) = s
3 (b) = 0), on doit annuler les
coefficients ci-dessus. Un choix fr´ equent consiste ` a poser λ 0 = µ n = 1 et d 0 =
d 1 , d n = d n−1 , ce qui revient `
a prolonger la spline au-del` a des points extrˆ emes
de l’intervalle [a, b] et ` a traiter a et b comme des points internes. Cette strat´ egie
donne une spline au comportement “r´ egulier”. Une autre mani` ere de fixer λ 0
et µ n (surtout utile quand les valeurs f
(a) et f
(b) ne sont pas connues)
consiste ` a imposer la continuit´ e de s
3 (x) en x 1 et x n−1 . Comme les noeuds x 1
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Comme s 3,i−1 ∈ P 3 , s
3,i−1 est lin´ eaire et
s
3,i−1 (x) = M i−1
x i − x
h i
+ M i
x − x i−1
h i
pour x ∈ [x i−1 , x i ],
(7.37)
o` u h i = x i − x i−1 , pour i = 1, . . . , n. En int´ egrant deux fois (7.37) on obtient
s 3,i−1 (x) = M i−1
(x i − x)
3
6h i
+ M i
(x − x i−1 )
3
6h i
+ C i−1 (x − x i−1 ) +
C i−1 ,
les constantes C i−1 et
C i−1 sont d´ etermin´ ees en imposant les valeurs aux
extr´ emit´ es s 3 (x i−1 ) = f i−1 et s 3 (x i ) = f i . Ceci donne, pour i = 1, . . ., n − 1
C i−1 = f i−1 − M i−1
h
2
i
6
, C i−1 =
f i − f i−1
h i
−
h i
6
(M i − M i−1 ).
Imposons ` a pr´ esent la continuit´ e de la d´ eriv´ ee premi` ere en x i ; on obtient
s
3 (x
−
i ) =
h i
6
M i−1 +
h i
3
M i +
f i − f i−1
h i
= −
h i+1
3
M i −
h i+1
6
M i+1 +
f i+1 − f i
h i+1
= s
3 (x
+
i ),
o` u s
3 (x
±
i ) = lim
t→0
s
3 (x i ± t). Ceci conduit au syst` eme lin´ eaire suivant (appel´ e
syst` eme de M-continuit´ e)
µ i M i−1 + 2M i + λ i M i+1 = d i , i = 1, . . . , n − 1 ,
(7.38)
o` u on a pos´ e
µ i =
h i
h i + h i+1
,
λ i =
h i+1
h i + h i+1
,
d i =
6
h i + h i+1
f i+1 − f i
h i+1
−
f i − f i−1
h i
, i = 1, . . . , n − 1.
Le syst` eme (7.38) a n+1 inconnues et n−1 ´ equations ; 2 (i.e. k −1) conditions
restent donc ` a fixer. En g´ en´ eral, ces conditions sont de la forme
2M 0 + λ 0 M 1 = d 0 , µ n M n−1 + 2M n = d n ,
o` u 0 ≤ λ 0 , µ n ≤ 1 et d 0 , d n sont des valeurs donn´ ees. Par exemple, pour obtenir
les splines naturelles (satisfaisant s
3 (a) = s
3 (b) = 0), on doit annuler les
coefficients ci-dessus. Un choix fr´ equent consiste ` a poser λ 0 = µ n = 1 et d 0 =
d 1 , d n = d n−1 , ce qui revient `
a prolonger la spline au-del` a des points extrˆ emes
de l’intervalle [a, b] et ` a traiter a et b comme des points internes. Cette strat´ egie
donne une spline au comportement “r´ egulier”. Une autre mani` ere de fixer λ 0
et µ n (surtout utile quand les valeurs f
(a) et f
(b) ne sont pas connues)
consiste ` a imposer la continuit´ e de s
3 (x) en x 1 et x n−1 . Comme les noeuds x 1