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7 Interpolation polynomiale
On v´ erifie facilement que les conditions (7.32) et (7.33) ne sont pas
suffisantes pour caract´ eriser une spline de degr´ e k. En effet, la restriction
s k,j = s k |[xj,xj+1 ] peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme
s k,j (x) =
k
i=0
s ij (x − x j )
i
si x ∈ [x j , x j+1 ;
(7.34)
on doit donc d´ eterminer (k + 1)n coefficients s ij . D’autre part, d’apr` es (7.33),
s
(m)
k,j−1 (x j ) = s
(m)
k,j (x j ), j = 1, . . . , n − 1, m = 0, ..., k − 1,
ce qui revient `
a fixer k(n − 1) conditions. Il reste par cons´ equent (k + 1)n −
k(n − 1) = k + n degr´ es de libert´ e.
Mˆ eme si la spline est une spline d’interpolation, c’est-` a-dire telle que s k (x j ) =
f j pour j = 0, . . . , n, o` u f 0 , . . ., f n sont des valeurs donn´ ees, il reste encore
k−1 degr´ es de libert´ e ` a fixer. Pour cette raison, on impose d’autres contraintes
qui d´ efinissent
1. les splines p´ eriodiques, si
s
(m)
k (a) = s
(m)
k (b), m = 0, 1, . . ., k − 1;
(7.35)
2. les splines naturelles, si pour k = 2l − 1, avec l ≥ 2
s
(l+j)
k
(a) = s
(l+j)
k
(b) = 0, j = 0, 1, . . ., l − 2.
(7.36)
On d´ eduit de (7.34) qu’une spline peut ˆ etre repr´ esent´ ee ` a l’aide de k + n
splines de base. Le choix le plus simple qui consiste ` a utiliser des polynˆ omes
convenablement enrichis n’est pas satisfaisant sur le plan num´ erique car le
probl` eme est alors mal conditionn´ e. Dans les Sections 7.6.1 et 7.6.2, nous
donnerons des exemples de splines de base : les splines cardinales pour k = 3
et les B-splines pour k quelconque.
7.6.1 Splines d’interpolation cubiques
Les splines d’interpolation cubiques sont particuli` erement importantes car : (i)
ce sont les splines de plus petit degr´ e qui permettent une approximation C
2 ;
(ii) elles ont de bonnes propri´ et´ es de r´ egularit´ e (` a condition que la courbure
soit assez faible).
Consid´ erons donc, dans [a, b], n + 1 noeuds a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b
et les valeurs correspondantes f i , i = 0, . . . , n. Notre but est de d´ efinir un
proc´ ed´ e efficace pour construire la spline cubique interpolant ces valeurs. La
spline ´ etant de degr´ e 3, sa d´ eriv´ ee seconde doit ˆ etre continue. Introduisons les
notations suivantes :
f i = s 3 (x i ), m i = s
3 (x i ), M i = s
3 (x i ), i = 0, . . . , n.
7 Interpolation polynomiale
On v´ erifie facilement que les conditions (7.32) et (7.33) ne sont pas
suffisantes pour caract´ eriser une spline de degr´ e k. En effet, la restriction
s k,j = s k |[xj,xj+1 ] peut ˆ etre ´ ecrite sous la forme
s k,j (x) =
k
i=0
s ij (x − x j )
i
si x ∈ [x j , x j+1 ;
(7.34)
on doit donc d´ eterminer (k + 1)n coefficients s ij . D’autre part, d’apr` es (7.33),
s
(m)
k,j−1 (x j ) = s
(m)
k,j (x j ), j = 1, . . . , n − 1, m = 0, ..., k − 1,
ce qui revient `
a fixer k(n − 1) conditions. Il reste par cons´ equent (k + 1)n −
k(n − 1) = k + n degr´ es de libert´ e.
Mˆ eme si la spline est une spline d’interpolation, c’est-` a-dire telle que s k (x j ) =
f j pour j = 0, . . . , n, o` u f 0 , . . ., f n sont des valeurs donn´ ees, il reste encore
k−1 degr´ es de libert´ e ` a fixer. Pour cette raison, on impose d’autres contraintes
qui d´ efinissent
1. les splines p´ eriodiques, si
s
(m)
k (a) = s
(m)
k (b), m = 0, 1, . . ., k − 1;
(7.35)
2. les splines naturelles, si pour k = 2l − 1, avec l ≥ 2
s
(l+j)
k
(a) = s
(l+j)
k
(b) = 0, j = 0, 1, . . ., l − 2.
(7.36)
On d´ eduit de (7.34) qu’une spline peut ˆ etre repr´ esent´ ee ` a l’aide de k + n
splines de base. Le choix le plus simple qui consiste ` a utiliser des polynˆ omes
convenablement enrichis n’est pas satisfaisant sur le plan num´ erique car le
probl` eme est alors mal conditionn´ e. Dans les Sections 7.6.1 et 7.6.2, nous
donnerons des exemples de splines de base : les splines cardinales pour k = 3
et les B-splines pour k quelconque.
7.6.1 Splines d’interpolation cubiques
Les splines d’interpolation cubiques sont particuli` erement importantes car : (i)
ce sont les splines de plus petit degr´ e qui permettent une approximation C
2 ;
(ii) elles ont de bonnes propri´ et´ es de r´ egularit´ e (` a condition que la courbure
soit assez faible).
Consid´ erons donc, dans [a, b], n + 1 noeuds a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b
et les valeurs correspondantes f i , i = 0, . . . , n. Notre but est de d´ efinir un
proc´ ed´ e efficace pour construire la spline cubique interpolant ces valeurs. La
spline ´ etant de degr´ e 3, sa d´ eriv´ ee seconde doit ˆ etre continue. Introduisons les
notations suivantes :
f i = s 3 (x i ), m i = s
3 (x i ), M i = s
3 (x i ), i = 0, . . . , n.