7.6 Splines
277
Passons ` a l’estimation de l’erreur d’interpolation. Pour tout T ∈ T h , on note
h T la longueur maximale des arˆ etes de T et ρ T le diam` etre du cercle inscrit
dans T . En supposant f ∈ C
k+1 (T ), on a le r´ esultat suivant (pour la preuve,
voir [CL91], Th´ eor` eme 16.1, p. 125-126 et [QV94], Remarque 3.4.2, p. 89-90)
− Π
k
T f ∞,T ≤ Ch
k+1
T
(k+1)
∞,T ,
k ≥ 0,
(7.30)
o` u, pour g ∈ C
0 (T ), g ∞,T = max x∈T |g(x)|, et o` u C d´ esigne une constante
positive ind´ ependante de h T et f.
Si on suppose en plus que la triangulation T h est r´ eguli` ere, c’est-` a-dire qu’il
existe une constante positive σ > 0 telle que
max
T ∈Th
h T
ρ T
≤ σ,
il est alors possible de d´ eduire de (7.30) l’estimation suivante de l’erreur d’interpolation sur le domaine Ω
− Π
k
h f ∞,Ω ≤ Ch
k+1
f
(k+1)
∞,Ω ,
k≥ 0,
∀f ∈ C
k+1 (Ω). (7.31)
La th´ eorie de l’interpolation par morceaux est l’outil de base de la m´ ethode
des ´ el´ ements finis, qui est tr` es utilis´ ee dans l’approximation num´ erique des
´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (voir p. ex. [QV94]).
7.6 Splines
Dans cette section, nous consid´ erons l’approximation d’une fonction par des
splines. C’est une m´ ethode d’interpolation par morceaux poss´ edant des propri´ et´ es de r´ egularit´ e globale.
D´ efinition 7.1 Soient x 0 , . . ., x n , n + 1 noeuds distincts de [a, b], avec a =
x 0 < x 1 < . . . < x n = b. La fonction s k (x) sur l’intervalle [a, b] est une spline
de degr´ e k relative aux noeuds x j si
s k|[x j ,xj+1 ] ∈ P k , j = 0, 1, . . ., n − 1,
(7.32)
s k ∈ C
k−1 [a, b].
(7.33)
Si S k d´ esigne l’espace des splines s k d´ efinies sur [a, b] et relatives ` a n + 1
noeuds distincts, alors dim S k = n + k. Evidemment, tout polynˆ ome de degr´ e k sur [a, b] est une spline ; mais en pratique, une spline est constitu´ ee de
polynˆ omes diff´ erents sur chaque sous-intervalle. Il peut donc y avoir des discontinuit´ es de la d´ eriv´ ee k-i` eme aux noeuds internes x 1 , . . . , x n−1 . Les noeuds
o` u se produisent ces discontinuit´ es sont appel´ es noeuds actifs.
277
Passons ` a l’estimation de l’erreur d’interpolation. Pour tout T ∈ T h , on note
h T la longueur maximale des arˆ etes de T et ρ T le diam` etre du cercle inscrit
dans T . En supposant f ∈ C
k+1 (T ), on a le r´ esultat suivant (pour la preuve,
voir [CL91], Th´ eor` eme 16.1, p. 125-126 et [QV94], Remarque 3.4.2, p. 89-90)
− Π
k
T f ∞,T ≤ Ch
k+1
T
(k+1)
∞,T ,
k ≥ 0,
(7.30)
o` u, pour g ∈ C
0 (T ), g ∞,T = max x∈T |g(x)|, et o` u C d´ esigne une constante
positive ind´ ependante de h T et f.
Si on suppose en plus que la triangulation T h est r´ eguli` ere, c’est-` a-dire qu’il
existe une constante positive σ > 0 telle que
max
T ∈Th
h T
ρ T
≤ σ,
il est alors possible de d´ eduire de (7.30) l’estimation suivante de l’erreur d’interpolation sur le domaine Ω
− Π
k
h f ∞,Ω ≤ Ch
k+1
f
(k+1)
∞,Ω ,
k≥ 0,
∀f ∈ C
k+1 (Ω). (7.31)
La th´ eorie de l’interpolation par morceaux est l’outil de base de la m´ ethode
des ´ el´ ements finis, qui est tr` es utilis´ ee dans l’approximation num´ erique des
´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (voir p. ex. [QV94]).
7.6 Splines
Dans cette section, nous consid´ erons l’approximation d’une fonction par des
splines. C’est une m´ ethode d’interpolation par morceaux poss´ edant des propri´ et´ es de r´ egularit´ e globale.
D´ efinition 7.1 Soient x 0 , . . ., x n , n + 1 noeuds distincts de [a, b], avec a =
x 0 < x 1 < . . . < x n = b. La fonction s k (x) sur l’intervalle [a, b] est une spline
de degr´ e k relative aux noeuds x j si
s k|[x j ,xj+1 ] ∈ P k , j = 0, 1, . . ., n − 1,
(7.32)
s k ∈ C
k−1 [a, b].
(7.33)
Si S k d´ esigne l’espace des splines s k d´ efinies sur [a, b] et relatives ` a n + 1
noeuds distincts, alors dim S k = n + k. Evidemment, tout polynˆ ome de degr´ e k sur [a, b] est une spline ; mais en pratique, une spline est constitu´ ee de
polynˆ omes diff´ erents sur chaque sous-intervalle. Il peut donc y avoir des discontinuit´ es de la d´ eriv´ ee k-i` eme aux noeuds internes x 1 , . . . , x n−1 . Les noeuds
o` u se produisent ces discontinuit´ es sont appel´ es noeuds actifs.