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7 Interpolation polynomiale
o` u δ ij est le symbole de Kronecker. On montre sur la Figure 7.7 les fonctions l i pour k = 0, 1, avec leurs analogues unidimensionnels. Quand k = 0,
les noeuds d’interpolation sont situ´ es aux centres de gravit´ e des triangles, et
quand k = 1, les noeuds co¨ ıncident avec les sommets des triangles. Ce choix,
que nous conserverons par la suite, n’est pas le seul possible : on aurait pu, par
exemple, utiliser les points milieux des arˆ etes, obtenant alors des polynˆ omes
par morceaux discontinus sur Ω.
Pour k ≥ 0, le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange par morceaux de f,
Π
k
h f ∈ P
c
k (Ω), est d´ efini par
Π
k
h f(x, y) =
N
i=1
f(z i )l i (x, y).
(7.28)
Remarquer que Π
0
h f est une fonction constante par morceaux, et que Π
1
h f est
une fonction lin´ eaire sur chaque triangle, continue en chaque sommet, et donc
globalement continue.
Pour T ∈ T h , nous d´ esignerons par Π
k
T f la restriction du polynˆ ome d’interpolation par morceaux de f sur l’´ el´ ement T . Par d´ efinition, Π
k
T f ∈ P k (T ) ;
en remarquant que d k = dimP k (T ) = (k + 1)(k + 2)/2, on peut donc ´ ecrire
Π
k
h f(x, y) =
dk−1
m=0
f(˜ z
(m)
T )l m,T (x, y),
∀T ∈ T h .
(7.29)
En (7.29), on a not´ e ˜ z
(m)
T , m = 0, . . . , d k − 1, les noeuds d’interpolation par
morceaux sur T et l m,T (x, y) la restriction `
a T du polynˆ ome caract´ eristique
de Lagrange d’indice i dans (7.28) associ´ e au noeud z i de la liste “globale”
co¨ ıncidant avec le noeud “local” ˜ z
(m)
T .
En conservant cette notation, on a l j,T (x) = ˆ l j ◦ F
−1
T (x), o` u ˆ l j = ˆ l j (ˆ x)
est, pour j = 0, . . ., d k − 1, la j-i` eme fonction de base de Lagrange de P k (T )
construite sur l’´ el´ ement de r´ ef´ erence ˆ
T . Si k = 0 alors d 0 = 1, il n’y a donc
qu’un seul noeud d’interpolation local (co¨ ıncidant avec le centre de gravit´ e du
triangle T ). Si k = 1 alors d 1 = 3, il y a donc trois noeuds d’interpolation
locaux (co¨ ıncidant avec les sommets de T ). Sur la Figure 7.8, on a repr´ esent´ e
les noeuds d’interpolation locaux sur ˆ
T pour k = 0, 1 et 2.
Fig. 7.8. Noeuds d’interpolation locaux sur ˆ
T ; de gauche `
a droite k = 0, k = 1 et
k = 2
7 Interpolation polynomiale
o` u δ ij est le symbole de Kronecker. On montre sur la Figure 7.7 les fonctions l i pour k = 0, 1, avec leurs analogues unidimensionnels. Quand k = 0,
les noeuds d’interpolation sont situ´ es aux centres de gravit´ e des triangles, et
quand k = 1, les noeuds co¨ ıncident avec les sommets des triangles. Ce choix,
que nous conserverons par la suite, n’est pas le seul possible : on aurait pu, par
exemple, utiliser les points milieux des arˆ etes, obtenant alors des polynˆ omes
par morceaux discontinus sur Ω.
Pour k ≥ 0, le polynˆ ome d’interpolation de Lagrange par morceaux de f,
Π
k
h f ∈ P
c
k (Ω), est d´ efini par
Π
k
h f(x, y) =
N
i=1
f(z i )l i (x, y).
(7.28)
Remarquer que Π
0
h f est une fonction constante par morceaux, et que Π
1
h f est
une fonction lin´ eaire sur chaque triangle, continue en chaque sommet, et donc
globalement continue.
Pour T ∈ T h , nous d´ esignerons par Π
k
T f la restriction du polynˆ ome d’interpolation par morceaux de f sur l’´ el´ ement T . Par d´ efinition, Π
k
T f ∈ P k (T ) ;
en remarquant que d k = dimP k (T ) = (k + 1)(k + 2)/2, on peut donc ´ ecrire
Π
k
h f(x, y) =
dk−1
m=0
f(˜ z
(m)
T )l m,T (x, y),
∀T ∈ T h .
(7.29)
En (7.29), on a not´ e ˜ z
(m)
T , m = 0, . . . , d k − 1, les noeuds d’interpolation par
morceaux sur T et l m,T (x, y) la restriction `
a T du polynˆ ome caract´ eristique
de Lagrange d’indice i dans (7.28) associ´ e au noeud z i de la liste “globale”
co¨ ıncidant avec le noeud “local” ˜ z
(m)
T .
En conservant cette notation, on a l j,T (x) = ˆ l j ◦ F
−1
T (x), o` u ˆ l j = ˆ l j (ˆ x)
est, pour j = 0, . . ., d k − 1, la j-i` eme fonction de base de Lagrange de P k (T )
construite sur l’´ el´ ement de r´ ef´ erence ˆ
T . Si k = 0 alors d 0 = 1, il n’y a donc
qu’un seul noeud d’interpolation local (co¨ ıncidant avec le centre de gravit´ e du
triangle T ). Si k = 1 alors d 1 = 3, il y a donc trois noeuds d’interpolation
locaux (co¨ ıncidant avec les sommets de T ). Sur la Figure 7.8, on a repr´ esent´ e
les noeuds d’interpolation locaux sur ˆ
T pour k = 0, 1 et 2.
Fig. 7.8. Noeuds d’interpolation locaux sur ˆ
T ; de gauche `
a droite k = 0, k = 1 et
k = 2