7.5 Extension au cas bidimensionnel
275
(x)
l (x,y)
i
i
z
z
1
i
l i
1
z
i
z
i
1
l i
(x,y)
1
l i (x)
Fig. 7.7. Polynˆ omes caract´ eristiques de Lagrange par morceaux, en deux et une
dimensions d’espace. A gauche, k = 0 ; `
a droite, k = 1
Tout ´ el´ ement T ∈ T h est l’image par une application affine x = F T (ˆ x) =
B T ˆ
x + b T d’un triangle de r´ ef´ erence
T , de sommets (0,0), (1,0) et (0,1) dans
le plan ˆ
x = (ˆ x, ˆ
y) (voir Figure 7.6, `
a droite), o` u la matrice inversible B T et le
second membre b T sont donn´ es respectivement par
B T =
x 2 − x 1 x 3 − x 1
y 2 − y 1 y 3 − y 1
, b T = [x 1 , y 1 ]
T ,
(7.25)
et o` u les coordonn´ ees des sommets de T sont not´ ees a
T
l = (x l , y l )
T pour
l = 1, 2, 3.
L’application affine (7.25) a une tr` es grande importance pratique car, une
fois construite une base engendrant les polynˆ omes d’interpolation sur ˆ
T , il
est possible de reconstruire le polynˆ ome d’interpolation sur n’importe quel
´ el´ ement T de T h en effectuant le changement de coordonn´ ees x = F T (ˆ x).
On cherche donc `
a construire une base de fonctions pouvant ˆ etre enti` erement
d´ ecrite sur chaque triangle sans recourir `
a des informations provenant des
triangles adjacents.
On introduit pour cela sur T h l’ensemble Z des noeuds d’interpolation par
morceaux z i = (x i , y i )
T , pour i = 1, . . ., N, et on d´ esigne par P k (Ω), k ≥ 0,
l’espace des polynˆ omes de degr´ e ≤ k en x, y
P k (Ω) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
p(x, y) =
k
i,j=0
i+j≤k
a ij x
i y
j , x, y ∈ Ω
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
.
(7.26)
Enfin, pour k ≥ 0, on note P
c
k (Ω) l’espace des fonctions polynomiales de
degr´ e ≤ k par morceaux telles que, pour p ∈ P
c
k (Ω), p| T ∈ P k (T ) pour tout
T ∈ T h . Une base ´ el´ ementaire de P
c
k (Ω) est constitu´ ee par les polynˆ omes
caract´ eristiques de Lagrange, i.e. l i = l i (x, y) tels que
l i (z j ) = δ ij ,
i,j= 1, . . . , N,
(7.27)
275
(x)
l (x,y)
i
i
z
z
1
i
l i
1
z
i
z
i
1
l i
(x,y)
1
l i (x)
Fig. 7.7. Polynˆ omes caract´ eristiques de Lagrange par morceaux, en deux et une
dimensions d’espace. A gauche, k = 0 ; `
a droite, k = 1
Tout ´ el´ ement T ∈ T h est l’image par une application affine x = F T (ˆ x) =
B T ˆ
x + b T d’un triangle de r´ ef´ erence
T , de sommets (0,0), (1,0) et (0,1) dans
le plan ˆ
x = (ˆ x, ˆ
y) (voir Figure 7.6, `
a droite), o` u la matrice inversible B T et le
second membre b T sont donn´ es respectivement par
B T =
x 2 − x 1 x 3 − x 1
y 2 − y 1 y 3 − y 1
, b T = [x 1 , y 1 ]
T ,
(7.25)
et o` u les coordonn´ ees des sommets de T sont not´ ees a
T
l = (x l , y l )
T pour
l = 1, 2, 3.
L’application affine (7.25) a une tr` es grande importance pratique car, une
fois construite une base engendrant les polynˆ omes d’interpolation sur ˆ
T , il
est possible de reconstruire le polynˆ ome d’interpolation sur n’importe quel
´ el´ ement T de T h en effectuant le changement de coordonn´ ees x = F T (ˆ x).
On cherche donc `
a construire une base de fonctions pouvant ˆ etre enti` erement
d´ ecrite sur chaque triangle sans recourir `
a des informations provenant des
triangles adjacents.
On introduit pour cela sur T h l’ensemble Z des noeuds d’interpolation par
morceaux z i = (x i , y i )
T , pour i = 1, . . ., N, et on d´ esigne par P k (Ω), k ≥ 0,
l’espace des polynˆ omes de degr´ e ≤ k en x, y
P k (Ω) =
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
p(x, y) =
k
i,j=0
i+j≤k
a ij x
i y
j , x, y ∈ Ω
⎫
⎪ ⎬
⎪ ⎭
.
(7.26)
Enfin, pour k ≥ 0, on note P
c
k (Ω) l’espace des fonctions polynomiales de
degr´ e ≤ k par morceaux telles que, pour p ∈ P
c
k (Ω), p| T ∈ P k (T ) pour tout
T ∈ T h . Une base ´ el´ ementaire de P
c
k (Ω) est constitu´ ee par les polynˆ omes
caract´ eristiques de Lagrange, i.e. l i = l i (x, y) tels que
l i (z j ) = δ ij ,
i,j= 1, . . . , N,
(7.27)