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7 Interpolation polynomiale
Fig. 7.5. Contre-exemple de Runge ´ etendu au cas bidimensionnel : polynˆ ome d’interpolation sur des grilles `
a 6 × 6 noeuds (` a gauche) et `
a 11 × 11 noeuds (` a droite).
Noter le changement d’´ echelle verticale entre les deux graphes
7.5.2 Interpolation polynomiale par morceaux
Dans le cas multidimensionnel, la grande flexibilit´ e de l’interpolation polynomiale par morceaux permet une prise en compte facile des domaines de forme
complexe. On supposera d´ esormais que Ω est un polygone de R
2 . On se donne
un recouvrement de Ω, not´ e T h , en K triangles T ; on a donc Ω =
T ∈Th
T . On
fait de plus l’hypoth` ese que l’intersection de deux triangles de T h est soit l’ensemble vide, soit un sommet commun, soit une arˆ ete commune (Figure 7.6, ` a
gauche). On dit alors que T h est une triangulation de Ω et les triangles T ∈ T h
sont appel´ es ´ el´ ements. On suppose enfin que les arˆ etes des triangles ont une
longueur inf´ erieure ou ´ egale ` a un nombre positif h.
T
T 2
1
2
T
T
2
1
T 1
T 2
T 1
T
1
0
1
F T
T
x
y
y
x
a
T
1
T
a
T
3
a
T
2
Fig. 7.6. A gauche : des triangulations admissibles (en haut ) et non admissibles (en
bas) ; `
a droite : l’application affine qui transforme le triangle de r´ ef´ erence ˆ
T en un
´ el´ ement courant T ∈ Th