7.5 Extension au cas bidimensionnel
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m = max(size(z));
herm = [];
for j = 1:m
xx = z(j); hxv = 0;
for i = 1:n
den = 1; num = 1; xn = x(i); derLi = 0;
for k = 1:n
if k ˜= i
num = num*(xx-x(k)); arg = xn-x(k);
den = den*arg; derLi = derLi+1/arg;
end
end
Lix2 = (num/den)ˆ2; p = (1-2*(xx-xn)*derLi)*Lix2;
q = (xx-xn)*Lix2; hxv = hxv+(y(i)*p+dy(i)*q);
end
herm = [herm, hxv];
end
return
7.5 Extension au cas bidimensionnel
Nous abordons bri` evement dans cette section l’extension des concepts pr´ ec´ edents au cas bidimensionnel et nous renvoyons `
a [SL89], [CHQZ06], [QV94]
pour plus de d´ etails. Nous d´ esignons par Ω une r´ egion born´ ee de R
2 et par
x = (x, y) les coordonn´ ees d’un point de Ω.
7.5.1 Polynˆ ome d’interpolation
Commen¸ cons par la situation particuli` erement simple o` u le domaine d’interpolation Ω est le produit tensoriel de deux intervalles, i.e. Ω = [a, b] × [c, d].
Dans ce cas, en introduisant les noeuds a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b et
c = y 0 < y 1 < . . . < y m = d, le polynˆ ome d’interpolation Π n,m f s’´ ecrit
Π n,m f(x, y) =
n
i=0
m
j=0
α ij l i (x)l j (y),
o` u l i ∈ P n , i = 0, . . ., n, et l j ∈ P m , j = 0, . . ., m, sont les polynˆ omes caract´ eristiques de Lagrange unidimensionnels en x et y, et o` u α ij = f(x i , y j ).
L’exemple de la Figure 7.5 montre que l’interpolation de Lagrange pr´ esente
en 2D les d´ efauts d´ ej` a constat´ es en 1D.
Signalons aussi qu’en dimension d ≥ 2, le probl` eme de la d´ etermination
d’un polynˆ ome d’interpolation de degr´ e n par rapport `
a chaque variable en
n + 1 noeuds distincts peut ˆ etre mal pos´ e (voir Exercice 10).