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7 Interpolation polynomiale
7.3 Interpolation de Lagrange par morceaux
A la Section 7.1.2, nous avons mis en ´ evidence le fait qu’on ne peut garantir
la convergence uniforme de Π n f vers f quand les noeuds d’interpolation sont
´ equir´ epartis. L’interpolation de Lagrange de bas degr´ e est cependant suffisamment pr´ ecise quand elle est utilis´ ee sur des intervalles assez petits, y compris
avec des noeuds ´ equir´ epartis (ce qui est commode en pratique).
Il est donc naturel d’introduire une partition T h de [a, b] en K sousintervalles I j = [x j , x j+1 ] de longueur h j , avec h = max 0≤j≤K−1 h j , tels que
[a, b] = ∪
K−1
j=0 I j et d’utiliser l’interpolation de Lagrange sur chaque I j en k +1
noeuds ´ equir´ epartis
x
(i)
j , 0 ≤ i ≤ k
, avec k petit.
Pour k ≥ 1 et pour une partition T h donn´ ee, on introduit
X
k
h =
v ∈ C
0 ([a, b]) : v| Ij ∈ P k (I j ) ∀I j ∈ T h
(7.22)
qui est l’espace des fonctions continues sur [a, b] dont la restriction `
a chaque
I j est polynomiale de degr´ e ≤ k. Pour toute fonction f continue sur [a, b],
le polynˆ ome d’interpolation par morceaux Π
k
h f co¨ ıncide sur chaque I j avec
l’interpolant de f |Ij aux k+1 noeuds
x
(i)
j , 0 ≤ i ≤ k
. Par cons´ equent, si f ∈
C
k+1 ([a, b]), en utilisant (7.7) dans chaque intervalle, on obtient l’estimation
d’erreur suivante :
f − Π
k
h f ∞ ≤ Ch
k+1
f
(k+1)
∞ .
(7.23)
Remarquer qu’on peut obtenir une erreur d’interpolation petite, mˆ eme pour
des valeurs de k peu ´ elev´ ees, d` es lors que h est “assez petit”.
Exemple 7.5 Revenons ` a la fonction du contre-exemple de Runge en utilisant des
polynˆ omes par morceaux de degr´ e 1 et 2, et ´ etudions exp´ erimentalement le comportement de l’erreur quand h d´ ecroˆ ıt. Nous montrons dans la Table 7.3 les erreurs
absolues mesur´ ees dans la norme du maximum sur l’intervalle [−5, 5] et les estimations correspondantes de l’ordre de convergence p par rapport `
a h. Mis `
a part les
cas o` u le nombre de sous-intervalles est excessivement petit, les r´ esultats confirment
l’estimation th´ eorique (7.23), i.e. p = k + 1.
•
7.4 Interpolation d’Hermite-Birkoff
On peut g´ en´ eraliser l’interpolation de Lagrange d’une fonction f pour prendre
en compte, en plus de ses valeurs nodales, les valeurs de ses d´ eriv´ ees en certains
noeuds (ou en tous les noeuds).
On se donne (x i , f
(k) (x i )), pour i = 0, . . ., n, k = 0, . . . , m i o` u m i ∈ N.
En posant N =
n
i=0 (m i + 1), on peut montrer (voir [Dav63]) que si les
noeuds {x i } sont distincts, il existe un unique polynˆ ome H N−1 ∈ P N−1 , appel´ e
7 Interpolation polynomiale
7.3 Interpolation de Lagrange par morceaux
A la Section 7.1.2, nous avons mis en ´ evidence le fait qu’on ne peut garantir
la convergence uniforme de Π n f vers f quand les noeuds d’interpolation sont
´ equir´ epartis. L’interpolation de Lagrange de bas degr´ e est cependant suffisamment pr´ ecise quand elle est utilis´ ee sur des intervalles assez petits, y compris
avec des noeuds ´ equir´ epartis (ce qui est commode en pratique).
Il est donc naturel d’introduire une partition T h de [a, b] en K sousintervalles I j = [x j , x j+1 ] de longueur h j , avec h = max 0≤j≤K−1 h j , tels que
[a, b] = ∪
K−1
j=0 I j et d’utiliser l’interpolation de Lagrange sur chaque I j en k +1
noeuds ´ equir´ epartis
x
(i)
j , 0 ≤ i ≤ k
, avec k petit.
Pour k ≥ 1 et pour une partition T h donn´ ee, on introduit
X
k
h =
v ∈ C
0 ([a, b]) : v| Ij ∈ P k (I j ) ∀I j ∈ T h
(7.22)
qui est l’espace des fonctions continues sur [a, b] dont la restriction `
a chaque
I j est polynomiale de degr´ e ≤ k. Pour toute fonction f continue sur [a, b],
le polynˆ ome d’interpolation par morceaux Π
k
h f co¨ ıncide sur chaque I j avec
l’interpolant de f |Ij aux k+1 noeuds
x
(i)
j , 0 ≤ i ≤ k
. Par cons´ equent, si f ∈
C
k+1 ([a, b]), en utilisant (7.7) dans chaque intervalle, on obtient l’estimation
d’erreur suivante :
f − Π
k
h f ∞ ≤ Ch
k+1
f
(k+1)
∞ .
(7.23)
Remarquer qu’on peut obtenir une erreur d’interpolation petite, mˆ eme pour
des valeurs de k peu ´ elev´ ees, d` es lors que h est “assez petit”.
Exemple 7.5 Revenons ` a la fonction du contre-exemple de Runge en utilisant des
polynˆ omes par morceaux de degr´ e 1 et 2, et ´ etudions exp´ erimentalement le comportement de l’erreur quand h d´ ecroˆ ıt. Nous montrons dans la Table 7.3 les erreurs
absolues mesur´ ees dans la norme du maximum sur l’intervalle [−5, 5] et les estimations correspondantes de l’ordre de convergence p par rapport `
a h. Mis `
a part les
cas o` u le nombre de sous-intervalles est excessivement petit, les r´ esultats confirment
l’estimation th´ eorique (7.23), i.e. p = k + 1.
•
7.4 Interpolation d’Hermite-Birkoff
On peut g´ en´ eraliser l’interpolation de Lagrange d’une fonction f pour prendre
en compte, en plus de ses valeurs nodales, les valeurs de ses d´ eriv´ ees en certains
noeuds (ou en tous les noeuds).
On se donne (x i , f
(k) (x i )), pour i = 0, . . ., n, k = 0, . . . , m i o` u m i ∈ N.
En posant N =
n
i=0 (m i + 1), on peut montrer (voir [Dav63]) que si les
noeuds {x i } sont distincts, il existe un unique polynˆ ome H N−1 ∈ P N−1 , appel´ e