7.4 Interpolation d’Hermite-Birkoff
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Table 7.3. Erreur d’interpolation pour l’interpolation de Lagrange par morceaux
de degr´ e 1 et 2, dans le cas de la fonction de Runge (7.12) ; p d´ esigne l’exposant de
h. Remarquer que, lorsque h → 0, p → n + 1, comme le pr´ evoit (7.23)
h
f − Π
1
h f ∞
p
f − Π
2
h f ∞
p
5
0.4153
0.0835
2.5
0.1787
1.216
0.0971
-0.217
1.25
0.0631
1.501
0.0477
1.024
0.625
0.0535
0.237
0.0082
2.537
0.3125
0.0206
1.374
0.0010
3.038
0.15625
0.0058
1.819
1.3828e-04
2.856
0.078125
0.0015
1.954
1.7715e-05
2.964
polynˆ ome d’interpolation d’Hermite, tel que
H
(k)
N−1 (x i ) = y
(k)
i ,
i = 0, . . ., n , k = 0, . . . , m i .
Ce polynˆ ome s’´ ecrit
H N−1 (x) =
n
i=0
mi
k=0
y
(k)
i L ik (x) ,
(7.24)
o` u y
(k)
i
= f
(k) (x i ), i = 0, . . . , n, k = 0, . . ., m i .
Les fonctions L ik ∈ P N−1 sont appel´ ees polynˆ omes caract´ eristiques d’Hermite
et sont d´ efinies par les relations
d
p
dx p (L ik )(x j ) =
1 si i = j et k = p,
0 sinon.
En d´ efinissant les polynˆ omes
l ij (x) =
(x − x i )
j
j!
n
k=0
k =i
x − x k
x i − x k
mk +1
, i = 0, . . ., n, j = 0, . . ., m i ,
et en posant L imi (x) = l imi (x) pour i = 0, . . . , n, on a les relations de r´ ecurrence suivantes pour les polynˆ omes L ij :
L ij (x) = l ij (x) −
mi
k=j+1
l
(k)
ij (x i )L ik (x)
j = m i − 1, m i − 2, . . ., 0.
Concernant l’erreur d’interpolation, on a l’estimation
f(x) − H N−1 (x) =
f
(N) (ξ)
N !
Ω N (x) ∀x ∈ R,
o` u ξ ∈ I(x; x 0 , . . . , x n ) et Ω N est le polynˆ ome de degr´ e N d´ efini par
Ω N (x) = (x − x 0 )
m0+1 (x − x 1 )
m1+1
· · · (x − x n )
mn+1 .