7.2 Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation
269
Les petites erreurs d’arrondi introduites dans le calcul des diff´ erences divis´ ees d’ordre
bas se sont spectaculairement propag´ ees sur les diff´ erences divis´ ees d’ordre ´ elev´ e. •
Table 7.2. Diff´ erences divis´ ees pour la fonction f (x) = 1 + sin(3x) sur l’intervalle
]0,0.0002[. Remarquer la valeur compl` etement fausse dans la derni` ere colonne (elle
devrait ˆ etre approximativement ´ egale ` a 0). Ceci est dˆ u `
a la propagation des erreurs
d’arrondi dans l’algorithme
xi
f (xi) f [xi, xi−1]
D
2 fi D
3 fi
D
4 fi
D
5 fi
0
1.0000
4.0e-5 1.0001
3.000
8.0e-5 1.0002
3.000
-5.39e-4
1.2e-4 1.0004
3.000
-1.08e-3 -4.50
1.6e-4 1.0005
3.000
-1.62e-3 -4.49 1.80e+1
2.0e-4 1.0006
3.000
-2.15e-3 -4.49
-7.23
−1.2e + 5
7.2.2 Erreur d’interpolation avec les diff´ erences divis´ ees
Soit Π n f le polynˆ ome d’interpolation de f aux noeuds x 0 , . . . , x n et soit x
un noeud distinct des pr´ ec´ edents ; en posant x n+1 = x, on note Π n+1 f le
polynˆ ome interpolant f aux noeuds x k , k = 0, . . . , n + 1. En utilisant la
formule des diff´ erences divis´ ees de Newton, on a
Π n+1 f(t) = Π n f(t) + (t − x 0 ) · · · (t − x n )f[x 0 , . . . , x n , t].
Puisque Π n+1 f(x) = f(x), on obtient l’expression suivante pour l’erreur d’interpolation en t = x
E n (x) = f(x) − Π n f(x) = Π n+1 f(x) − Π n f(x)
= (x − x 0 ) · · · (x − x n )f[x 0 , . . . , x n , x]
= ω n+1 (x)f[x 0 , . . . , x n , x].
(7.20)
En supposant que f ∈ C
(n+1) (I x ) et en comparant (7.20) `
a (7.7), on a donc
f[x 0 , . . . , x n , x] =
f
(n+1) (ξ)
(n + 1)!
(7.21)
pour un certain ξ ∈ I x . Comme (7.21) est le reste du d´ eveloppement de Taylor
de f, la formule d’interpolation de Newton (7.17) peut ˆ etre vue comme un
d´ eveloppement tronqu´ e autour de x 0 (` a condition que |x n − x 0 | ne soit pas
trop grand).
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Les petites erreurs d’arrondi introduites dans le calcul des diff´ erences divis´ ees d’ordre
bas se sont spectaculairement propag´ ees sur les diff´ erences divis´ ees d’ordre ´ elev´ e. •
Table 7.2. Diff´ erences divis´ ees pour la fonction f (x) = 1 + sin(3x) sur l’intervalle
]0,0.0002[. Remarquer la valeur compl` etement fausse dans la derni` ere colonne (elle
devrait ˆ etre approximativement ´ egale ` a 0). Ceci est dˆ u `
a la propagation des erreurs
d’arrondi dans l’algorithme
xi
f (xi) f [xi, xi−1]
D
2 fi D
3 fi
D
4 fi
D
5 fi
0
1.0000
4.0e-5 1.0001
3.000
8.0e-5 1.0002
3.000
-5.39e-4
1.2e-4 1.0004
3.000
-1.08e-3 -4.50
1.6e-4 1.0005
3.000
-1.62e-3 -4.49 1.80e+1
2.0e-4 1.0006
3.000
-2.15e-3 -4.49
-7.23
−1.2e + 5
7.2.2 Erreur d’interpolation avec les diff´ erences divis´ ees
Soit Π n f le polynˆ ome d’interpolation de f aux noeuds x 0 , . . . , x n et soit x
un noeud distinct des pr´ ec´ edents ; en posant x n+1 = x, on note Π n+1 f le
polynˆ ome interpolant f aux noeuds x k , k = 0, . . . , n + 1. En utilisant la
formule des diff´ erences divis´ ees de Newton, on a
Π n+1 f(t) = Π n f(t) + (t − x 0 ) · · · (t − x n )f[x 0 , . . . , x n , t].
Puisque Π n+1 f(x) = f(x), on obtient l’expression suivante pour l’erreur d’interpolation en t = x
E n (x) = f(x) − Π n f(x) = Π n+1 f(x) − Π n f(x)
= (x − x 0 ) · · · (x − x n )f[x 0 , . . . , x n , x]
= ω n+1 (x)f[x 0 , . . . , x n , x].
(7.20)
En supposant que f ∈ C
(n+1) (I x ) et en comparant (7.20) `
a (7.7), on a donc
f[x 0 , . . . , x n , x] =
f
(n+1) (ξ)
(n + 1)!
(7.21)
pour un certain ξ ∈ I x . Comme (7.21) est le reste du d´ eveloppement de Taylor
de f, la formule d’interpolation de Newton (7.17) peut ˆ etre vue comme un
d´ eveloppement tronqu´ e autour de x 0 (` a condition que |x n − x 0 | ne soit pas
trop grand).