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7 Interpolation polynomiale
D’apr` es l’unicit´ e du polynˆ ome d’interpolation, cette expression d´ efinit le mˆ eme
polynˆ ome que la formule de Lagrange. La forme (7.17) est commun´ ement appel´ ee formule des diff´ erences divis´ ees de Newton du polynˆ ome d’interpolation.
On propose dans le Programme 56 une impl´ ementation de la formule de Newton. En entr´ ee, les vecteurs x et y contiennent respectivement les noeuds
d’interpolation et les valeurs de f correspondantes, le vecteur z contient les
abscisses o` u le polynˆ ome Π n f doit ˆ etre ´ evalu´ e. Ce polynˆ ome est retourn´ e en
sortie dans le vecteur f.
Programme 56 - interpol : Polynˆ ome d’interpolation de Lagrange utilisant
les formules de Newton
function [f]=interpol(x,y,z)
%INTERPOL Polynˆ ome d’interpolation de Lagrange
% [F] = INTERPOL(X, Y, Z) calcule le polynˆ ome d’interpolation de
% Lagrange d’une fonction. X contient les noeuds d’interpolation. Y
% contient les valeurs de la fonction en X. Z contient les points
% auxquels le polynˆ ome d’interpolation F doit ˆ etre ´ evalu´ e.
[m n] = size(y);
for j = 1:m
a (:,1) = y (j,:)’;
for i = 2:n
a (i:n,i) = ( a(i:n,i-1)-a(i-1,i-1) )./(x(i:n)-x(i-1))’;
end
f(j,:) = a(n,n).*(z-x(n-1)) + a(n-1,n-1);
for i = 2:n-1
f(j,:) = f(j,:).*(z-x(n-i))+a(n-i,n-i);
end
end
return
7.2.1 Quelques propri´ et´ es des diff´ erences divis´ ees de Newton
On remarque que la n-i` eme diff´ erence divis´ ee f[x 0 , . . . , x n ] = a n est le coefficient de x
n dans Π n f. En isolant ce coefficient dans (7.5) et en l’identifiant
avec le coefficient correspondant dans la formule de Newton (7.17), on obtient
la d´ efinition explicite
f[x 0 , . . . , x n ] =
n
i=0
f(x i )
ω
n+1 (x i )
.
(7.18)
Cette formule a des cons´ equences remarquables :
1. la valeur prise par la diff´ erence divis´ ee est invariante par permutation des
indices des noeuds. Ceci peut ˆ etre utilis´ e avec profit quand des probl` emes