7.2 Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation
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de stabilit´ e sugg` erent d’´ echanger des indices (par exemple, si x est le point
o` u le polynˆ ome doit ˆ etre calcul´ e, il peut ˆ etre commode d’introduire une
permutation des indices telle que |x −x k | ≤ |x −x k−1 | pour k = 1, . . ., n) ;
2. si f = αg + βh pour α, β ∈ R, alors
f[x 0 , . . ., x n ] = αg[x 0 , . . . , x n ] + βh[x 0 , . . . , x n ];
3. si f = gh, on a la formule suivante (appel´ ee formule de Leibniz) (voir
[Die93])
f[x 0 , . . . , x n ] =
n
j=0
g[x 0 , . . . , x j ]h[x j , . . ., x n ];
4. une manipulation alg´ ebrique de (7.18) (voir Exercice 7) donne la formule
de r´ ecurrence suivante permettant le calcul des diff´ erences divis´ ees
f[x 0 , . . . , x n ] =
f[x 1 , . . . , x n ] − f[x 0 , . . ., x n−1 ]
x n − x 0
, n ≥ 1.
(7.19)
On a impl´ ement´ e dans le Programme 57 la formule de r´ ecurrence (7.19). Les
valeurs de f aux noeuds d’interpolation x sont stock´ ees dans le vecteur y, tandis que la matrice de sortie d (triangulaire inf´ erieure) contient les diff´ erences
divis´ ees stock´ ees sous la forme suivante
x 0 f[x 0 ]
x 1 f[x 1 ]
f[x 0 , x 1 ]
x 2 f[x 2 ]
f[x 1 , x 2 ]
f[x 0 , x 1 , x 2 ]
. . .
. . .
. . .
. . .
x n f[x n ] f[x n−1 , x n ] f[x n−2 , x n−1 , x n ] . . . f[x 0 , . . ., x n ]
Les coefficients intervenant dans la formule de Newton sont les ´ el´ ements diagonaux de la matrice.
Programme 57 - dividif : Diff´ erences divis´ ees de Newton
function [d]=dividif(x,y)
%DIVIDIF Diff´ erences divis´ ees de Newton
% [D] = DIVIDIF(X, Y) calcule les diff´ erences divis´ ees d’ordre n.
% X contient les noeuds d’interpolation. Y les valeurs de la fonction
% en X. D contient les diff´ erences divis´ ee d’ordre n.
[n,m]=size(y);
if n == 1, n = m; end
n = n-1;
d = zeros (n+1,n+1);
d(:,1) = y’;
for j = 2:n+1