7.2 Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation
265
−1
−0.5
0
0.5
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Fig. 7.3. Instabilit´ e de l’interpolation de Lagrange. En trait plein Π21f , sur des
donn´ ees non perturb´ ees, en trait discontinu Π21
f , sur des donn´ ees perturb´ ees
(Exemple 7.2)
Π n−1 (x i ) = y i pour i = 0, . . ., n − 1) et d’un polynˆ ome de degr´ e n qui d´ epend
des noeuds x i et d’un seul coefficient inconnu. On pose donc
Π n (x) = Π n−1 (x) + q n (x),
(7.13)
o` u q n ∈ P n . Puisque q n (x i ) = Π n (x i ) − Π n−1 (x i ) = 0 pour i = 0, . . . , n − 1,
on a n´ ecessairement
q n (x) = a n (x − x 0 ) . . . (x − x n−1 ) = a n ω n (x).
Pour d´ eterminer le coefficient a n , supposons que y i = f(x i ), i = 0, . . . , n, o` u
f est une fonction donn´ ee, pas n´ ecessairement sous forme explicite. Puisque
Π n f(x n ) = f(x n ), on d´ eduit de (7.13) que
a n =
f(x n ) − Π n−1 f(x n )
ω n (x n )
.
(7.14)
Le coefficient a n est appel´ e n-i` eme diff´ erence divis´ ee de Newton et on le note
en g´ en´ eral
a n = f[x 0 , x 1 , . . . , x n ]
(7.15)
pour n ≥ 1. Par cons´ equent, (7.13) devient
Π n f(x) = Π n−1 f(x) + ω n (x)f[x 0 , x 1 , . . . , x n ].
(7.16)
En posant y 0 = f(x 0 ) = f[x 0 ] et ω 0 = 1, on obtient `
a partir de (7.16) la
formule suivante par r´ ecurrence sur n
Π n f(x) =
n
k=0
ω k (x)f[x 0 , . . . , x k ].
(7.17)
265
−1
−0.5
0
0.5
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Fig. 7.3. Instabilit´ e de l’interpolation de Lagrange. En trait plein Π21f , sur des
donn´ ees non perturb´ ees, en trait discontinu Π21
f , sur des donn´ ees perturb´ ees
(Exemple 7.2)
Π n−1 (x i ) = y i pour i = 0, . . ., n − 1) et d’un polynˆ ome de degr´ e n qui d´ epend
des noeuds x i et d’un seul coefficient inconnu. On pose donc
Π n (x) = Π n−1 (x) + q n (x),
(7.13)
o` u q n ∈ P n . Puisque q n (x i ) = Π n (x i ) − Π n−1 (x i ) = 0 pour i = 0, . . . , n − 1,
on a n´ ecessairement
q n (x) = a n (x − x 0 ) . . . (x − x n−1 ) = a n ω n (x).
Pour d´ eterminer le coefficient a n , supposons que y i = f(x i ), i = 0, . . . , n, o` u
f est une fonction donn´ ee, pas n´ ecessairement sous forme explicite. Puisque
Π n f(x n ) = f(x n ), on d´ eduit de (7.13) que
a n =
f(x n ) − Π n−1 f(x n )
ω n (x n )
.
(7.14)
Le coefficient a n est appel´ e n-i` eme diff´ erence divis´ ee de Newton et on le note
en g´ en´ eral
a n = f[x 0 , x 1 , . . . , x n ]
(7.15)
pour n ≥ 1. Par cons´ equent, (7.13) devient
Π n f(x) = Π n−1 f(x) + ω n (x)f[x 0 , x 1 , . . . , x n ].
(7.16)
En posant y 0 = f(x 0 ) = f[x 0 ] et ω 0 = 1, on obtient `
a partir de (7.16) la
formule suivante par r´ ecurrence sur n
Π n f(x) =
n
k=0
ω k (x)f[x 0 , . . . , x k ].
(7.17)