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7 Interpolation polynomiale
7.1.3 Stabilit´ e du polynˆ ome d’interpolation
On note
f (x i ) les valeurs r´ esultant de la perturbation d’un ensemble de donn´ ees f(x i ) en des noeuds x i ∈ [a, b], i = 0, . . . , n. La perturbation peut ˆ etre
due, par exemple, aux erreurs d’arrondi ou `
a des erreurs dans des mesures
exp´ erimentales.
En notant Π n
f le polynˆ ome qui interpole les valeurs
f (x i ), on a
n f − Π n
f ∞ = max
a≤x≤b
n
j=0
(f(x j ) −
f(x j ))l j (x)
≤ Λ n (X) max
i=0,...,n
|f(x i ) −
f(x i )|.
Par cons´ equent, des petites modifications sur les donn´ ees n’induisent des petites modifications sur le polynˆ ome d’interpolation que si la constante de Lebesgue est petite. Cette constante joue le rˆ ole de conditionnement pour le
probl` eme d’interpolation.
Comme on l’a not´ e pr´ ec´ edemment, Λ n croˆ ıt quand n → ∞. En particulier,
pour l’interpolation de Lagrange sur des noeuds ´ equir´ epartis on peut montrer
que (voir [Nat65])
Λ n (X)
2
n+1
en log n
,
o` u e = 2.7183 . . . est le nombre de Neper. Ceci montre que, pour n grand, cette
forme d’interpolation peut devenir instable. Remarquer qu’on a laiss´ e de cˆ ot´ e
jusqu’` a pr´ esent les erreurs li´ ees ` a la construction de Π n f. On peut n´ eanmoins
montrer que leurs effets sont en g´ en´ eral n´ egligeables (voir [Atk89]).
Exemple 7.2 On interpole sur l’intervalle [−1, 1] la fonction f (x) = sin(2πx) en
22 noeuds ´ equir´ epartis. On g´ en` ere ensuite un ensemble de valeurs perturb´ ees
f (xi)
de f (xi) = sin(2πxi) avec maxi=0,...,21 |f (xi) −
f (xi)| | 9.5 · 10
−4 . Sur la Figure
7.3 on compare les polynˆ omes Π21f et Π21
f : remarquer que la diff´ erence entre les
deux polynˆ omes au voisinage des extr´ emit´ es de l’intervalle d’interpolation est bien
plus grande que la perturbation impos´ ee (en effet Π21f − Π21
f∞ 2.1635 et
Λ21 24000).
•
7.2 Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation
La forme de Lagrange (7.4) du polynˆ ome d’interpolation n’est pas la plus
commode d’un point de vue pratique. Nous introduisons dans cette section
une forme alternative dont le coˆ ut de calcul est moins ´ elev´ e. Notre but est le
suivant : ´ etant donn´ e n + 1 paires {x i , y i }, i = 0, . . ., n, on veut repr´ esenter
Π n (tel que Π n (x i ) = y i avec i = 0, . . ., n) comme la somme de Π n−1 (tel que
7 Interpolation polynomiale
7.1.3 Stabilit´ e du polynˆ ome d’interpolation
On note
f (x i ) les valeurs r´ esultant de la perturbation d’un ensemble de donn´ ees f(x i ) en des noeuds x i ∈ [a, b], i = 0, . . . , n. La perturbation peut ˆ etre
due, par exemple, aux erreurs d’arrondi ou `
a des erreurs dans des mesures
exp´ erimentales.
En notant Π n
f le polynˆ ome qui interpole les valeurs
f (x i ), on a
n f − Π n
f ∞ = max
a≤x≤b
n
j=0
(f(x j ) −
f(x j ))l j (x)
≤ Λ n (X) max
i=0,...,n
|f(x i ) −
f(x i )|.
Par cons´ equent, des petites modifications sur les donn´ ees n’induisent des petites modifications sur le polynˆ ome d’interpolation que si la constante de Lebesgue est petite. Cette constante joue le rˆ ole de conditionnement pour le
probl` eme d’interpolation.
Comme on l’a not´ e pr´ ec´ edemment, Λ n croˆ ıt quand n → ∞. En particulier,
pour l’interpolation de Lagrange sur des noeuds ´ equir´ epartis on peut montrer
que (voir [Nat65])
Λ n (X)
2
n+1
en log n
,
o` u e = 2.7183 . . . est le nombre de Neper. Ceci montre que, pour n grand, cette
forme d’interpolation peut devenir instable. Remarquer qu’on a laiss´ e de cˆ ot´ e
jusqu’` a pr´ esent les erreurs li´ ees ` a la construction de Π n f. On peut n´ eanmoins
montrer que leurs effets sont en g´ en´ eral n´ egligeables (voir [Atk89]).
Exemple 7.2 On interpole sur l’intervalle [−1, 1] la fonction f (x) = sin(2πx) en
22 noeuds ´ equir´ epartis. On g´ en` ere ensuite un ensemble de valeurs perturb´ ees
f (xi)
de f (xi) = sin(2πxi) avec maxi=0,...,21 |f (xi) −
f (xi)| | 9.5 · 10
−4 . Sur la Figure
7.3 on compare les polynˆ omes Π21f et Π21
f : remarquer que la diff´ erence entre les
deux polynˆ omes au voisinage des extr´ emit´ es de l’intervalle d’interpolation est bien
plus grande que la perturbation impos´ ee (en effet Π21f − Π21
f∞ 2.1635 et
Λ21 24000).
•
7.2 Forme de Newton du polynˆ ome d’interpolation
La forme de Lagrange (7.4) du polynˆ ome d’interpolation n’est pas la plus
commode d’un point de vue pratique. Nous introduisons dans cette section
une forme alternative dont le coˆ ut de calcul est moins ´ elev´ e. Notre but est le
suivant : ´ etant donn´ e n + 1 paires {x i , y i }, i = 0, . . ., n, on veut repr´ esenter
Π n (tel que Π n (x i ) = y i avec i = 0, . . ., n) comme la somme de Π n−1 (tel que