7.1 Interpolation polynomiale
263
Section 9.3, que les z´ eros des polynˆ omes de Chebyshev d´ efinissent une matrice
d’interpolation sur [−1, 1] dont la constante de Lebesgue est tr` es petite.
D’autre part, pour tout choix de X, il existe une constante C > 0 telle que
(voir [Erd61])
Λ n (X) >
2
π
log(n + 1) − C,
n = 0, 1, . . .
Cette propri´ et´ e implique que Λ n (X) → ∞ quand n → ∞, ce qui a des cons´ equences importantes : on peut en particulier montrer (voir [Fab14]) que pour
une matrice d’interpolation X sur un intervalle [a, b], il existe toujours une
fonction continue f sur [a, b] telle que Π n f ne converge pas uniform´ ement
(c’est-` a-dire pour la norme du maximum) vers f. Ainsi, l’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher convenablement toute fonction continue.
C’est ce que montre l’exemple suivant.
Exemple 7.1 (contre-exemple de Runge) Supposons qu’on approche la fonction suivante
f (x) =
1
1 + x 2 ,
−5 ≤ x ≤ 5
(7.12)
en utilisant l’interpolation de Lagrange avec noeuds ´ equir´ epartis. On peut v´ erifier
qu’il existe des points x ` a l’int´ erieur de l’intervalle d’interpolation tels que
lim
n→∞
|f (x) − Πnf (x)| = 0.
En particulier, l’interpolation de Lagrange diverge pour |x| > 3.63 . . .. Ce ph´ enom` ene
est particuli` erement ´ evident au voisinage des extr´ emit´ es de l’intervalle d’interpolation, comme le montre la Figure 7.2. Il est dˆ u au fait que les noeuds sont ´ equir´ epartis.
Nous verrons au Chapitre 9 qu’en choisissant convenablement les noeuds, on pourra
´ etablir la convergence uniforme du polynˆ ome d’interpolation vers la fonction f . •
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fig. 7.2. Contre-exemple de Runge concernant l’interpolation de Lagrange sur des
noeuds ´ equir´ epartis : la fonction f (x) = 1/(1 + x
2 ) et les polynˆ omes d’interpolation
Π5f (trait mixte) et Π10f (trait discontinu)
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Section 9.3, que les z´ eros des polynˆ omes de Chebyshev d´ efinissent une matrice
d’interpolation sur [−1, 1] dont la constante de Lebesgue est tr` es petite.
D’autre part, pour tout choix de X, il existe une constante C > 0 telle que
(voir [Erd61])
Λ n (X) >
2
π
log(n + 1) − C,
n = 0, 1, . . .
Cette propri´ et´ e implique que Λ n (X) → ∞ quand n → ∞, ce qui a des cons´ equences importantes : on peut en particulier montrer (voir [Fab14]) que pour
une matrice d’interpolation X sur un intervalle [a, b], il existe toujours une
fonction continue f sur [a, b] telle que Π n f ne converge pas uniform´ ement
(c’est-` a-dire pour la norme du maximum) vers f. Ainsi, l’interpolation polynomiale ne permet pas d’approcher convenablement toute fonction continue.
C’est ce que montre l’exemple suivant.
Exemple 7.1 (contre-exemple de Runge) Supposons qu’on approche la fonction suivante
f (x) =
1
1 + x 2 ,
−5 ≤ x ≤ 5
(7.12)
en utilisant l’interpolation de Lagrange avec noeuds ´ equir´ epartis. On peut v´ erifier
qu’il existe des points x ` a l’int´ erieur de l’intervalle d’interpolation tels que
lim
n→∞
|f (x) − Πnf (x)| = 0.
En particulier, l’interpolation de Lagrange diverge pour |x| > 3.63 . . .. Ce ph´ enom` ene
est particuli` erement ´ evident au voisinage des extr´ emit´ es de l’intervalle d’interpolation, comme le montre la Figure 7.2. Il est dˆ u au fait que les noeuds sont ´ equir´ epartis.
Nous verrons au Chapitre 9 qu’en choisissant convenablement les noeuds, on pourra
´ etablir la convergence uniforme du polynˆ ome d’interpolation vers la fonction f . •
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Fig. 7.2. Contre-exemple de Runge concernant l’interpolation de Lagrange sur des
noeuds ´ equir´ epartis : la fonction f (x) = 1/(1 + x
2 ) et les polynˆ omes d’interpolation
Π5f (trait mixte) et Π10f (trait discontinu)