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7 Interpolation polynomiale
7.1.2 Les d´ efauts de l’interpolation polynomiale avec noeuds
´ equir´ epartis et le contre-exemple de Runge
Nous analysons dans cette section le comportement de l’erreur d’interpolation
(7.7) quand n tend vers l’infini. Rappelons qu’on d´ efinit la norme du maximum
d’une fonction f ∈ C
0 ([a, b]) par
f ∞ = max
x∈[a,b]
|f(x)|.
(7.8)
Introduisons une “matrice” triangulaire inf´ erieure X de taille infinie, appel´ ee
matrice d’interpolation sur [a, b], dont les coefficients x ij , pour i, j = 0, 1, . . .,
repr´ esentent les points de [a, b], avec l’hypoth` ese que sur chaque ligne les
coefficients sont tous distincts.
Pour tout n ≥ 0, la n + 1-i` eme ligne de X contient n + 1 valeurs distinctes
que l’on identifie `
a des noeuds. Pour une fonction f donn´ ee, on peut d´ efinir
de fa¸ con unique un polynˆ ome Π n f de degr´ e n qui interpole f en ces noeuds
(le polynˆ ome Π n f d´ epend de X et de f).
Pour une fonction f donn´ ee et pour une matrice d’interpolation X, on
d´ efinit l’erreur d’interpolation
E n,∞ (X) = f − Π n f ∞ , n = 0, 1, . . .
(7.9)
On note p
∗
n ∈ P n la meilleure approximation polynomiale, i.e. l’interpolation
pour laquelle
E
∗
n = f − p
∗
n ∞ ≤ ≤f − q n ∞
∀q n ∈ P n .
On a alors le r´ esultat suivant (pour la preuve, voir [Riv74]).
Propri´ et´ e 7.1 Soient f ∈ C
0 ([a, b]) et X une matrice d’interpolation sur
[a, b]. Alors
E n,∞ (X) ≤ E
∗
n (1 + Λ n (X)) ,
n= 0, 1, . . .
(7.10)
o` u Λ n (X) d´ esigne la constante de Lebesgue de X d´ efinie par
Λ n (X) =
n
j=0
|l
(n)
j |
∞
,
(7.11)
et o` u l
(n)
j
∈ P n est le j-i` eme polynˆ ome caract´ eristique associ´ e `
a la n + 1-i` eme
ligne de X, c’est-` a-dire le polynˆ ome satisfaisant l
(n)
j (x nk ) = δ jk , j, k = 0, 1, . . .
Puisque E
∗
n ne d´ epend pas de X, toute l’information concernant les effets de
X sur E n,∞ (X) doit ˆ etre cherch´ ee dans Λ n (X). Bien qu’il existe une matrice
d’interpolation X
∗ telle que Λ n (X) soit minimum, la d´ etermination explicite
de ses coefficients n’est en g´ en´ eral pas une tˆ ache facile. Nous verrons ` a la
7 Interpolation polynomiale
7.1.2 Les d´ efauts de l’interpolation polynomiale avec noeuds
´ equir´ epartis et le contre-exemple de Runge
Nous analysons dans cette section le comportement de l’erreur d’interpolation
(7.7) quand n tend vers l’infini. Rappelons qu’on d´ efinit la norme du maximum
d’une fonction f ∈ C
0 ([a, b]) par
f ∞ = max
x∈[a,b]
|f(x)|.
(7.8)
Introduisons une “matrice” triangulaire inf´ erieure X de taille infinie, appel´ ee
matrice d’interpolation sur [a, b], dont les coefficients x ij , pour i, j = 0, 1, . . .,
repr´ esentent les points de [a, b], avec l’hypoth` ese que sur chaque ligne les
coefficients sont tous distincts.
Pour tout n ≥ 0, la n + 1-i` eme ligne de X contient n + 1 valeurs distinctes
que l’on identifie `
a des noeuds. Pour une fonction f donn´ ee, on peut d´ efinir
de fa¸ con unique un polynˆ ome Π n f de degr´ e n qui interpole f en ces noeuds
(le polynˆ ome Π n f d´ epend de X et de f).
Pour une fonction f donn´ ee et pour une matrice d’interpolation X, on
d´ efinit l’erreur d’interpolation
E n,∞ (X) = f − Π n f ∞ , n = 0, 1, . . .
(7.9)
On note p
∗
n ∈ P n la meilleure approximation polynomiale, i.e. l’interpolation
pour laquelle
E
∗
n = f − p
∗
n ∞ ≤ ≤f − q n ∞
∀q n ∈ P n .
On a alors le r´ esultat suivant (pour la preuve, voir [Riv74]).
Propri´ et´ e 7.1 Soient f ∈ C
0 ([a, b]) et X une matrice d’interpolation sur
[a, b]. Alors
E n,∞ (X) ≤ E
∗
n (1 + Λ n (X)) ,
n= 0, 1, . . .
(7.10)
o` u Λ n (X) d´ esigne la constante de Lebesgue de X d´ efinie par
Λ n (X) =
n
j=0
|l
(n)
j |
∞
,
(7.11)
et o` u l
(n)
j
∈ P n est le j-i` eme polynˆ ome caract´ eristique associ´ e `
a la n + 1-i` eme
ligne de X, c’est-` a-dire le polynˆ ome satisfaisant l
(n)
j (x nk ) = δ jk , j, k = 0, 1, . . .
Puisque E
∗
n ne d´ epend pas de X, toute l’information concernant les effets de
X sur E n,∞ (X) doit ˆ etre cherch´ ee dans Λ n (X). Bien qu’il existe une matrice
d’interpolation X
∗ telle que Λ n (X) soit minimum, la d´ etermination explicite
de ses coefficients n’est en g´ en´ eral pas une tˆ ache facile. Nous verrons ` a la