7.1 Interpolation polynomiale
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−1
−0.5
0
0.5
1
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
l
l
l
2
3
4
Fig. 7.1. Polynˆ omes caract´ eristiques de Lagrange
7.1.1 Erreur d’interpolation
Dans cette section, nous ´ evaluons l’erreur d’interpolation faite quand on remplace une fonction f donn´ ee par le polynˆ ome Π n f qui l’interpole aux noeuds
x 0 , x 1 , . . . , x n (nous renvoyons le lecteur int´ eress´ e par davantage de r´ esultats
` a [Wen66], [Dav63]).
Th´ eor` eme 7.2 Soient x 0 , x 1 , . . . , x n , n+1 noeuds distincts et soit x un point
appartenant au domaine de d´ efinition de f. On suppose que f ∈ C
n+1 (I x ), o` u
I x est le plus petit intervalle contenant les noeuds x 0 , x 1 , . . . , x n et x. L’erreur
d’interpolation au point x est donn´ ee par
E n (x) = f(x) − Π n f(x) =
f
(n+1) (ξ)
(n + 1)!
ω n+1 (x) ,
(7.7)
o` u ξ ∈ I x et ω n+1 est le polynˆ ome nodal de degr´ e n + 1.
D´ emonstration. Le r´ esultat est ´ evidemment vrai si x co¨ ıncide avec l’un des
noeuds d’interpolation. Autrement, d´ efinissons pour t ∈ Ix, la fonction G(t) =
En(t) − ωn+1(t)En(x)/ωn+1(x). Puisque f ∈ C
(n+1) (Ix) et puisque ωn+1 est un
polynˆ ome, G ∈ C
(n+1) (Ix) et poss` ede au moins n + 2 z´ eros distincts dans Ix. En
effet,
G(xi) = En(xi) − ωn+1(xi)En(x)/ωn+1(x) = 0, i = 0, . . . , n ,
G(x) = En(x) − ωn+1(x)En(x)/ωn+1(x) = 0 .
Ainsi, d’apr` es le th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires, G
admet au moins n + 1 z´ eros
distincts, et par r´ ecurrence, G
(j) a au moins n+2−j z´ eros distincts. Par cons´ equent,
G
(n+1) a au moins un z´ ero, qu’on note ξ. D’autre part, puisque E
(n+1)
n
(t) = f
(n+1) (t)
et ω
(n+1)
n+1 (x) = (n + 1)! on a
G
(n+1) (t) = f
(n+1) (t) −
(n + 1)!
ωn+1(x)
En(x),
ce qui donne, avec t = ξ, l’expression voulue pour En(x).
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