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7 Interpolation polynomiale
Th´ eor` eme 7.1 Etant donn´ e n + 1 points distincts x 0 , . . . , x n et n + 1 valeurs
correspondantes y 0 , . . . , y n , il existe un unique polynˆ ome Π n ∈ P n tel que
Π n (x i ) = y i pour i = 0, . . ., n.
D´ emonstration. Pour prouver l’existence, on va construire explicitement Πn.
Posons
li ∈ Pn : li(x) =
n
j=0
j =i
x − xj
xi − xj
i = 0, . . . , n .
(7.2)
Les polynˆ omes {li, i = 0, . . . , n} forment une base de Pn (voir Exercice 1). En d´ ecomposant Πn sur cette base, on a Πn(x) =
n
j=0 bjlj (x), d’o` u
Πn(xi) =
n
j=0
bj lj(xi) = yi, i = 0, . . . , n ,
(7.3)
et comme lj (xi) = δij, on en d´ eduit imm´ ediatement que bi = yi.
Par cons´ equent, le polynˆ ome d’interpolation existe et s’´ ecrit sous la forme suivante
Πn(x) =
n
i=0
yili(x).
(7.4)
Pour montrer l’unicit´ e, supposons qu’il existe un autre polynˆ ome Ψm de degr´ e m ≤
n, tel que Ψm(xi) = yi pour i = 0, ..., n. La diff´ erence Πn − Ψm s’annule alors en
n + 1 points distincts xi, elle est donc nulle. Ainsi, Ψm = Πn.
Un approche alternative pour montrer l’existence et l’unicit´ e de Πn est propos´ ee
dans l’Exercice 2.
3
On peut v´ erifier (voir Exercice 3) que
Π n (x) =
n
i=0
ω n+1 (x)
(x − x i )ω
n+1 (x i )
y i ,
(7.5)
o` u ω n+1 est le polynˆ ome nodal de degr´ e n + 1 d´ efini par
ω n+1 (x) =
n
i=0
(x − x i ).
(7.6)
La relation (7.4) est appel´ ee formule d’interpolation de Lagrange, et les polynˆ omes l i (x) sont les polynˆ omes caract´ eristiques (de Lagrange). On a repr´ esent´ e sur la Figure 7.1 les polynˆ omes caract´ eristiques l 2 (x), l 3 (x) et l 4 (x),
pour n = 6, sur l’intervalle [-1,1] avec des noeuds ´ equir´ epartis (comprenant
les extr´ emit´ es de l’intervalle).
Noter que |l i (x)| peut ˆ etre plus grand que 1 dans l’intervalle d’interpolation.
Si y i = f(x i ) pour i = 0, . . ., n, f ´ etant une fonction donn´ ee, le polynˆ ome
d’interpolation Π n (x) sera not´ e Π n f(x).
7 Interpolation polynomiale
Th´ eor` eme 7.1 Etant donn´ e n + 1 points distincts x 0 , . . . , x n et n + 1 valeurs
correspondantes y 0 , . . . , y n , il existe un unique polynˆ ome Π n ∈ P n tel que
Π n (x i ) = y i pour i = 0, . . ., n.
D´ emonstration. Pour prouver l’existence, on va construire explicitement Πn.
Posons
li ∈ Pn : li(x) =
n
j=0
j =i
x − xj
xi − xj
i = 0, . . . , n .
(7.2)
Les polynˆ omes {li, i = 0, . . . , n} forment une base de Pn (voir Exercice 1). En d´ ecomposant Πn sur cette base, on a Πn(x) =
n
j=0 bjlj (x), d’o` u
Πn(xi) =
n
j=0
bj lj(xi) = yi, i = 0, . . . , n ,
(7.3)
et comme lj (xi) = δij, on en d´ eduit imm´ ediatement que bi = yi.
Par cons´ equent, le polynˆ ome d’interpolation existe et s’´ ecrit sous la forme suivante
Πn(x) =
n
i=0
yili(x).
(7.4)
Pour montrer l’unicit´ e, supposons qu’il existe un autre polynˆ ome Ψm de degr´ e m ≤
n, tel que Ψm(xi) = yi pour i = 0, ..., n. La diff´ erence Πn − Ψm s’annule alors en
n + 1 points distincts xi, elle est donc nulle. Ainsi, Ψm = Πn.
Un approche alternative pour montrer l’existence et l’unicit´ e de Πn est propos´ ee
dans l’Exercice 2.
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On peut v´ erifier (voir Exercice 3) que
Π n (x) =
n
i=0
ω n+1 (x)
(x − x i )ω
n+1 (x i )
y i ,
(7.5)
o` u ω n+1 est le polynˆ ome nodal de degr´ e n + 1 d´ efini par
ω n+1 (x) =
n
i=0
(x − x i ).
(7.6)
La relation (7.4) est appel´ ee formule d’interpolation de Lagrange, et les polynˆ omes l i (x) sont les polynˆ omes caract´ eristiques (de Lagrange). On a repr´ esent´ e sur la Figure 7.1 les polynˆ omes caract´ eristiques l 2 (x), l 3 (x) et l 4 (x),
pour n = 6, sur l’intervalle [-1,1] avec des noeuds ´ equir´ epartis (comprenant
les extr´ emit´ es de l’intervalle).
Noter que |l i (x)| peut ˆ etre plus grand que 1 dans l’intervalle d’interpolation.
Si y i = f(x i ) pour i = 0, . . ., n, f ´ etant une fonction donn´ ee, le polynˆ ome
d’interpolation Π n (x) sera not´ e Π n f(x).