7
Interpolation polynomiale
Ce chapitre traite de l’approximation d’une fonction dont on ne connaˆ ıt les
valeurs qu’en certains points.
Plus pr´ ecis´ ement, ´ etant donn´ e n + 1 couples (x i , y i ), le probl` eme consiste
` a trouver une fonction Φ = Φ(x) telle que Φ(x i ) = y i pour i = 0, . . . , m,
o` u les y i sont des valeurs donn´ ees. On dit alors que Φ interpole {y i } aux
noeuds {x i }. On parle d’interpolation polynomiale quand Φ est un polynˆ ome,
d’approximation trigonom´ etrique quand Φ est un polynˆ ome trigonom´ etrique
et d’interpolation polynomiale par morceaux (ou d’interpolation par fonctions
splines) si Φ est polynomiale par morceaux.
Les quantit´ es y i peuvent, par exemple, repr´ esenter les valeurs aux noeuds
x i d’une fonction f connue analytiquement ou des donn´ ees exp´ erimentales.
Dans le premier cas, l’approximation a pour but de remplacer f par une
fonction plus simple en vue d’un calcul num´ erique d’int´ egrale ou de d´ eriv´ ee.
Dans l’autre cas, le but est d’avoir une repr´ esentation synth´ etique de donn´ ees
exp´ erimentales dont le nombre peut ˆ etre tr` es ´ elev´ e.
Nous ´ etudions dans ce chapitre l’interpolation polynomiale, polynomiale
par morceaux et les splines param´ etriques. Les interpolations trigonom´ etriques
et celles bas´ ees sur des polynˆ omes orthogonaux seront abord´ ees au Chapitre 9.
7.1 Interpolation polynomiale
Consid´ erons n + 1 couples (x i , y i ). Le probl` eme est de trouver un polynˆ ome
Π m ∈ P m , appel´ e polynˆ ome d’interpolation ou polynˆ ome interpolant, tel que
Π m (x i ) = a m x
m
i + . . . + a 1 x i + a 0 = y i i = 0, . . ., n.
(7.1)
Les points x i sont appel´ es noeuds d’interpolation. Si n = m le probl` eme est
sur ou sous-d´ etermin´ e et sera ´ etudi´ e ` a la Section 9.7.1. Si n = m, on a le
r´ esultat suivant :
Interpolation polynomiale
Ce chapitre traite de l’approximation d’une fonction dont on ne connaˆ ıt les
valeurs qu’en certains points.
Plus pr´ ecis´ ement, ´ etant donn´ e n + 1 couples (x i , y i ), le probl` eme consiste
` a trouver une fonction Φ = Φ(x) telle que Φ(x i ) = y i pour i = 0, . . . , m,
o` u les y i sont des valeurs donn´ ees. On dit alors que Φ interpole {y i } aux
noeuds {x i }. On parle d’interpolation polynomiale quand Φ est un polynˆ ome,
d’approximation trigonom´ etrique quand Φ est un polynˆ ome trigonom´ etrique
et d’interpolation polynomiale par morceaux (ou d’interpolation par fonctions
splines) si Φ est polynomiale par morceaux.
Les quantit´ es y i peuvent, par exemple, repr´ esenter les valeurs aux noeuds
x i d’une fonction f connue analytiquement ou des donn´ ees exp´ erimentales.
Dans le premier cas, l’approximation a pour but de remplacer f par une
fonction plus simple en vue d’un calcul num´ erique d’int´ egrale ou de d´ eriv´ ee.
Dans l’autre cas, le but est d’avoir une repr´ esentation synth´ etique de donn´ ees
exp´ erimentales dont le nombre peut ˆ etre tr` es ´ elev´ e.
Nous ´ etudions dans ce chapitre l’interpolation polynomiale, polynomiale
par morceaux et les splines param´ etriques. Les interpolations trigonom´ etriques
et celles bas´ ees sur des polynˆ omes orthogonaux seront abord´ ees au Chapitre 9.
7.1 Interpolation polynomiale
Consid´ erons n + 1 couples (x i , y i ). Le probl` eme est de trouver un polynˆ ome
Π m ∈ P m , appel´ e polynˆ ome d’interpolation ou polynˆ ome interpolant, tel que
Π m (x i ) = a m x
m
i + . . . + a 1 x i + a 0 = y i i = 0, . . ., n.
(7.1)
Les points x i sont appel´ es noeuds d’interpolation. Si n = m le probl` eme est
sur ou sous-d´ etermin´ e et sera ´ etudi´ e ` a la Section 9.7.1. Si n = m, on a le
r´ esultat suivant :