6.8 Exercices
257
suivantes :
(a) |x
(0) | < 1 ⇒ g(x
(k+1) ) < g(x
(k) ), k ≥ 0, lim
k→∞
x
(k) = 0 ;
(b) |x
(0) | > 1 ⇒ g(x
(k+1) ) > g(x
(k) ), k ≥ 0, lim
k→∞
|x
(k) | = +∞ .
13. Prouver (6.45) pour l’´ etape m de la m´ ethode de Newton-SOR.
[Indication : utiliser SOR pour r´ esoudre un syst` eme lin´ eaire Ax=b avec A=DE-F et exprimer la k-` eme it´ er´ ee en fonction de la donn´ ee initiale x
(0) . On obtient
alors
x
(k+1) = x
(0) + (M
k+1 − I)x
(0) + (M
k + . . . + I)B
−1 b,
o` u B= ω
−1 (D − ωE) et M = B
−1 ω
−1 [(1 − ω)D + ωF ]. Puisque B
−1 A = I − M
et
(I + . . . + M
k )(I − M) = I − M
k+1
on en d´ eduit (6.45) en identifiant la matrice et le membre de droite du syst` eme.]
14. On veut r´ esoudre le syst` eme non lin´ eaire
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
−
1
81
cos x1 +
1
9
x
2
2 +
1
3
sin x3 = x1 ,
1
3
sin x1 +
1
3
cos x3 = x2 ,
−
1
9
cos x1 +
1
3
x2 +
1
6
sin x3 = x3 ,
avec la m´ ethode de point fixe x
(n+1) = Ψ(x
(n) ), o` u x = [x1, x2, x3]
T et Ψ(x)
est le membre de gauche du syst` eme. Analyser la convergence de la m´ ethode
vers le point fixe α = [0, 1/3, 0]
T .
[Solution : la m´ ethode de point fixe est convergente car Ψ(α)∞ = 1/2.]