256
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
5. Consid´ erer pour k ≥ 0 la m´ ethode de point fixe, connue sous le nom de m´ ethode
de Steffensen,
x
(k+1) = x
(k) −
f (x
(k) )
ϕ(x (k) )
, ϕ(x
(k) ) =
f (x
(k) + f (x
(k) )) − f (x
(k) )
f (x (k) )
,
et prouver qu’elle est du second ordre. Impl´ ementer la m´ ethode de Steffensen
dans MATLAB et l’utiliser pour approcher la racine de l’´ equation non lin´ eaire
e
−x − sin(x) = 0.
6. Analyser la convergence de la m´ ethode de point fixe x
(k+1) = φj(x
(k) ) pour le
calcul des z´ eros α1 = −1 et α2 = 2 de la fonction f (x) = x
2 − x − 2, quand
on utilise les fonctions d’it´ eration suivantes : φ1(x) = x
2 − 2, φ2(x) =
√
2 + x
φ3(x) = −
√
2 + x et φ4(x) = 1 + 2/x, x = 0.
[Solution : la m´ ethode ne converge pas avec φ1, elle converge seulement vers α2
avec φ2 et φ4, et elle converge seulement vers α1 avec φ3].
7. On consid` ere les m´ ethodes de point fixe suivantes pour approcher les z´ eros de
la fonction f (x) = (2x
2 − 3x − 2)/(x − 1) :
(1) x
(k+1) = g(x
(k) ), o` u g(x) = (3x
2 − 4x − 2)/(x − 1) ;
(2) x
(k+1) = h(x
(k) ), o` u h(x) = x − 2 + x/(x − 1).
Etudier la convergence des deux m´ ethodes et d´ eterminer leur ordre. V´ erifier
le comportement des deux sch´ emas en utilisant le Programme 47 et donner,
pour le second, une estimation exp´ erimentale de l’intervalle dans lequel on doit
choisir x
(0) pour que la m´ ethode converge vers α = 2.
[Solution : z´ eros : α1 = −1/2 et α2 = 2. La m´ ethode (1) ne converge pas, la m´ ethode (2) approche seulement α2 et elle est du second ordre. On a convergence
seulement pour x
(0) > 1].
8. Proposer au moins deux m´ ethodes de point fixe pour approcher la racine α
0.5885 de l’´ equation e
−x − sin(x) = 0 et ´ etudier leur convergence.
9. En utilisant la r` egle des signes de Descartes, d´ eterminer le nombre de racines
r´ eelles des polynˆ omes p6(x) = x
6 − x − 1 et p4(x) = x
4 − x
3 − x
2 + x − 1.
[Solution : p6 et p4 ont tous les deux une racine r´ eelle n´ egative et une racine
r´ eelle positive].
10. En utilisant le th´ eor` eme de Cauchy, localiser les z´ eros des polynˆ omes p4 et p6
de l’Exercice 9. Donner une estimation analogue pour les polynˆ omes p4(x) =
x
4 + 8x
3 − 8x
2 − 200x − 425 = (x − 5)(x + 5)(x + 4 + i)(x + 4 − i), o` u i
2 = −1.
[Indication : poser t = x − µ, avec µ = −4, de mani` ere ` a r´ ecrire le polynˆ ome
sous la forme p4(t) = t
4 − 8t
3 − 8t
2 − 8t − 9].
11. En utilisant la r` egle de Descartes et le th´ eor` eme de Cauchy, localiser les z´ eros
du polynˆ ome de Legendre L5 d´ efini `
a l’Exemple 6.3.
[Solution : 5 racines r´ eelles, contenues dans l’intervalle [−r, r], avec r = 1 +
70/63 2.11. En fait, les racines de L5 se situent dans l’intervalle ] − 1, 1[].
12. Soit g : R → R la fonction d´ efinie par g(x) =
√
1 + x 2 . Montrer que les it´ er´ ees
de la m´ ethode de Newton pour l’´ equation g
(x) = 0 satisfont les propri´ et´ es
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
5. Consid´ erer pour k ≥ 0 la m´ ethode de point fixe, connue sous le nom de m´ ethode
de Steffensen,
x
(k+1) = x
(k) −
f (x
(k) )
ϕ(x (k) )
, ϕ(x
(k) ) =
f (x
(k) + f (x
(k) )) − f (x
(k) )
f (x (k) )
,
et prouver qu’elle est du second ordre. Impl´ ementer la m´ ethode de Steffensen
dans MATLAB et l’utiliser pour approcher la racine de l’´ equation non lin´ eaire
e
−x − sin(x) = 0.
6. Analyser la convergence de la m´ ethode de point fixe x
(k+1) = φj(x
(k) ) pour le
calcul des z´ eros α1 = −1 et α2 = 2 de la fonction f (x) = x
2 − x − 2, quand
on utilise les fonctions d’it´ eration suivantes : φ1(x) = x
2 − 2, φ2(x) =
√
2 + x
φ3(x) = −
√
2 + x et φ4(x) = 1 + 2/x, x = 0.
[Solution : la m´ ethode ne converge pas avec φ1, elle converge seulement vers α2
avec φ2 et φ4, et elle converge seulement vers α1 avec φ3].
7. On consid` ere les m´ ethodes de point fixe suivantes pour approcher les z´ eros de
la fonction f (x) = (2x
2 − 3x − 2)/(x − 1) :
(1) x
(k+1) = g(x
(k) ), o` u g(x) = (3x
2 − 4x − 2)/(x − 1) ;
(2) x
(k+1) = h(x
(k) ), o` u h(x) = x − 2 + x/(x − 1).
Etudier la convergence des deux m´ ethodes et d´ eterminer leur ordre. V´ erifier
le comportement des deux sch´ emas en utilisant le Programme 47 et donner,
pour le second, une estimation exp´ erimentale de l’intervalle dans lequel on doit
choisir x
(0) pour que la m´ ethode converge vers α = 2.
[Solution : z´ eros : α1 = −1/2 et α2 = 2. La m´ ethode (1) ne converge pas, la m´ ethode (2) approche seulement α2 et elle est du second ordre. On a convergence
seulement pour x
(0) > 1].
8. Proposer au moins deux m´ ethodes de point fixe pour approcher la racine α
0.5885 de l’´ equation e
−x − sin(x) = 0 et ´ etudier leur convergence.
9. En utilisant la r` egle des signes de Descartes, d´ eterminer le nombre de racines
r´ eelles des polynˆ omes p6(x) = x
6 − x − 1 et p4(x) = x
4 − x
3 − x
2 + x − 1.
[Solution : p6 et p4 ont tous les deux une racine r´ eelle n´ egative et une racine
r´ eelle positive].
10. En utilisant le th´ eor` eme de Cauchy, localiser les z´ eros des polynˆ omes p4 et p6
de l’Exercice 9. Donner une estimation analogue pour les polynˆ omes p4(x) =
x
4 + 8x
3 − 8x
2 − 200x − 425 = (x − 5)(x + 5)(x + 4 + i)(x + 4 − i), o` u i
2 = −1.
[Indication : poser t = x − µ, avec µ = −4, de mani` ere ` a r´ ecrire le polynˆ ome
sous la forme p4(t) = t
4 − 8t
3 − 8t
2 − 8t − 9].
11. En utilisant la r` egle de Descartes et le th´ eor` eme de Cauchy, localiser les z´ eros
du polynˆ ome de Legendre L5 d´ efini `
a l’Exemple 6.3.
[Solution : 5 racines r´ eelles, contenues dans l’intervalle [−r, r], avec r = 1 +
70/63 2.11. En fait, les racines de L5 se situent dans l’intervalle ] − 1, 1[].
12. Soit g : R → R la fonction d´ efinie par g(x) =
√
1 + x 2 . Montrer que les it´ er´ ees
de la m´ ethode de Newton pour l’´ equation g
(x) = 0 satisfont les propri´ et´ es