6.8 Exercices
255
for k=1:dim
r=abs(eval(F(k,:))); if (r > res), res = r; end
end;
iter = 0;
residual(1)=res;
while ((iter <= nmax) & (res >= tol)),
iter = iter + 1;
for k = 1:dim
xnew(k) = eval(Phi(k,:));
end
x = xnew; res = 0; alpha=[alpha;x]; x=x’;
for k = 1:dim
r = abs(eval(F(k,:)));
if (r > res), res=r; end,
end
residual(iter+1)=res;
end
res=residual’;
return
6.8 Exercices
1. D´ eterminer g´ eom´ etriquement la suite des premi` eres it´ er´ ees des m´ ethodes de dichotomie, de la fausse position, de la s´ ecante et de Newton pour l’approximation
du z´ ero de la fonction f (x) = x
2 − 2 dans l’intervalle [1, 3].
2. Soit f une fonction continue m fois diff´ erentiable (m ≥ 1), telle que f (α) =
. . . = f
(m−1) (α) = 0 et f
(m) (α) = 0. Montrer (6.22) et v´ erifier que la m´ ethode
de Newton modifi´ ee (6.23) a un ordre de convergence ´ egal `
a 2.
[Indication : poser f (x) = (x − α)
m h(x), o` u h est une fonction telle que h(α) =
0].
3. Soit f (x) = cos
2 (2x) − x
2 la fonction d´ efinie sur l’intervalle 0 ≤ x ≤ 1.5 et
´ etudi´ ee dans l’Exemple 6.4. Si on se fixe une tol´ erance ε = 10
−10 sur l’erreur
absolue, d´ eterminer exp´ erimentalement les sous-intervalles pour lesquels la m´ ethode de Newton converge vers α 0.5149.
[Solution : pour 0 < x
(0) ≤ 0.02, 0.94 ≤ x
(0) ≤ 1.13 et 1.476 ≤ x
(0) ≤ 1.5,
la m´ ethode converge vers la solution −α. Pour toute autre valeur de x
(0) dans
[0, 1.5], la m´ ethode converge vers α].
4. V´ erifier les propri´ et´ es suivantes :
a) 0 < φ
(α) < 1 : convergence monotone, c’est-` a-dire, l’erreur x
(k) − α garde
un signe constant quand k varie ;
b) −1 < φ
(α) < 0 : convergence oscillante c’est-` a-dire, x
(k) − α change de
signe quand k varie ;
c) |φ
(α)| > 1 : divergence. Plus pr´ ecis´ ement, si φ
(α) > 1, la suite diverge de
fa¸ con monotone, tandis que pour φ
(α) < −1 elle diverge en oscillant.