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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
dont les solutions sont x
∗
1 = [0, 1]
T et x
∗
2 = [4/5, −3/5]
T . Utilisons pour le r´ esoudre
deux m´ ethodes de point fixe respectivement d´ efinies par les fonctions d’it´ eration
G1(x) =
⎡
⎣
1 − x2
2
1 − x
2
1
⎤
⎦ , G2(x) =
⎡
⎣
1 − x2
2
−
1 − x
2
1
⎤
⎦ .
On peut v´ erifier que Gi(x
∗
i ) = x
∗
i pour i = 1, 2 ; les deux m´ ethodes sont convergentes
dans un voisinage de leur point fixe respectif car
JG 1 (x
∗
1 ) =
⎡
⎣
0 −
1
2
0
0
⎤
⎦ , JG 2 (x
∗
2 ) =
⎡
⎣
0 −
1
2
4
3
0
⎤
⎦ ,
et donc ρ(JG 1 (x
∗
1 )) = 0 et ρ(JG 2 (x
∗
2 )) =
2/3 0.817 < 1.
En ex´ ecutant le Programme 55, avec une tol´ erance de 10
−10 sur le maximum de
la valeur absolue de la diff´ erence entre deux it´ er´ ees successives, le premier sch´ ema
converge vers x
∗
1 en 9 it´ erations en partant de x
(0) = [−0.9, 0.9]
T , et le second
converge vers x
∗
2 en 115 it´ erations en partant de x
(0) = [0.9, 0.9]
T . Cette diff´ erence
de comportement entre les deux suites s’explique par la diff´ erence entre les rayons
spectraux des matrices d’it´ eration correspondantes.
•
Remarque 6.4 La m´ ethode de Newton peut ˆ etre vue comme une m´ ethode
de point fixe associ´ ee ` a la fonction
G N (x) = x − J
−1
F (x)F(x).
(6.56)
Un code MATLAB de la m´ ethode de point fixe (6.55) est propos´ e dans le
Programme 55. Nous avons not´ e dim la taille du syst` eme non lin´ eaire et Phi
la variable contenant l’expression de la fonction d’it´ eration G. En sortie, le
vecteur alpha contient l’approximation du z´ ero de F et le vecteur res contient
les normes du maximum du r´ esidu F(x
(k) ).
Programme 55 - fixposys : M´ ethode de point fixe pour les syst` emes non
lin´ eaires
function [alpha,res,iter]=fixposys(F,Phi,x0,tol,nmax,dim)
%FIXPOSYS M´ ethode de point fixe pour les syst` emes non lin´ eaires
% [ALPHA, RES, ITER] = FIXPOSYS(F, PHI, X0, TOL, NMAX, DIM) tente de
% r´ esoudre le syst` eme non lin´ eaire F(X)=0 avec la m´ ethode du point
% fixe. F et PHI sont des chaˆ ınes contenant les expressions des ´ equations
% non lin´ eaires et de la fonction d’it´ eration. X0 est la donn´ ee initiale
% TOL est la tol´ erance de la m´ ethode. NMAX est le nombre maximum
% d’it´ erations. DIM est la taille du syst` eme non lin´ eaire. ITER est
% l’it´ eration ` a laquelle la solution ALPHA a ´ et´ e calcul´ ee. RES est le
% r´ esidu du syst` eme calcul´ e en ALPHA.
x = x0; alpha=[x’]; res = 0;
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
dont les solutions sont x
∗
1 = [0, 1]
T et x
∗
2 = [4/5, −3/5]
T . Utilisons pour le r´ esoudre
deux m´ ethodes de point fixe respectivement d´ efinies par les fonctions d’it´ eration
G1(x) =
⎡
⎣
1 − x2
2
1 − x
2
1
⎤
⎦ , G2(x) =
⎡
⎣
1 − x2
2
−
1 − x
2
1
⎤
⎦ .
On peut v´ erifier que Gi(x
∗
i ) = x
∗
i pour i = 1, 2 ; les deux m´ ethodes sont convergentes
dans un voisinage de leur point fixe respectif car
JG 1 (x
∗
1 ) =
⎡
⎣
0 −
1
2
0
0
⎤
⎦ , JG 2 (x
∗
2 ) =
⎡
⎣
0 −
1
2
4
3
0
⎤
⎦ ,
et donc ρ(JG 1 (x
∗
1 )) = 0 et ρ(JG 2 (x
∗
2 )) =
2/3 0.817 < 1.
En ex´ ecutant le Programme 55, avec une tol´ erance de 10
−10 sur le maximum de
la valeur absolue de la diff´ erence entre deux it´ er´ ees successives, le premier sch´ ema
converge vers x
∗
1 en 9 it´ erations en partant de x
(0) = [−0.9, 0.9]
T , et le second
converge vers x
∗
2 en 115 it´ erations en partant de x
(0) = [0.9, 0.9]
T . Cette diff´ erence
de comportement entre les deux suites s’explique par la diff´ erence entre les rayons
spectraux des matrices d’it´ eration correspondantes.
•
Remarque 6.4 La m´ ethode de Newton peut ˆ etre vue comme une m´ ethode
de point fixe associ´ ee ` a la fonction
G N (x) = x − J
−1
F (x)F(x).
(6.56)
Un code MATLAB de la m´ ethode de point fixe (6.55) est propos´ e dans le
Programme 55. Nous avons not´ e dim la taille du syst` eme non lin´ eaire et Phi
la variable contenant l’expression de la fonction d’it´ eration G. En sortie, le
vecteur alpha contient l’approximation du z´ ero de F et le vecteur res contient
les normes du maximum du r´ esidu F(x
(k) ).
Programme 55 - fixposys : M´ ethode de point fixe pour les syst` emes non
lin´ eaires
function [alpha,res,iter]=fixposys(F,Phi,x0,tol,nmax,dim)
%FIXPOSYS M´ ethode de point fixe pour les syst` emes non lin´ eaires
% [ALPHA, RES, ITER] = FIXPOSYS(F, PHI, X0, TOL, NMAX, DIM) tente de
% r´ esoudre le syst` eme non lin´ eaire F(X)=0 avec la m´ ethode du point
% fixe. F et PHI sont des chaˆ ınes contenant les expressions des ´ equations
% non lin´ eaires et de la fonction d’it´ eration. X0 est la donn´ ee initiale
% TOL est la tol´ erance de la m´ ethode. NMAX est le nombre maximum
% d’it´ erations. DIM est la taille du syst` eme non lin´ eaire. ITER est
% l’it´ eration ` a laquelle la solution ALPHA a ´ et´ e calcul´ ee. RES est le
% r´ esidu du syst` eme calcul´ e en ALPHA.
x = x0; alpha=[x’]; res = 0;