6.7 R´ esolution des syst` emes d’´ equations non lin´ eaires
253
dans le cas scalaire. Nous r´ ecrivons pour cela le probl` eme (6.41) sous la forme :
´ etant donn´ e G : R
n
→ R
n , trouver x
∗
∈ R
n tel que G(x
∗ ) = x
∗ ,
(6.54)
o` u G satisfait la propri´ et´ e suivante : si x
∗ est un point fixe de G, alors F(x
∗ ) =
0.
Comme on l’a fait `
a la Section 6.3, on introduit la m´ ethode it´ erative suivante
pour r´ esoudre (6.54) :
´ etant donn´ e x
(0)
∈ R
n , calculer pour k = 0, 1, . . . jusqu’` a convergence,
x
(k+1) = G(x
(k) ).
(6.55)
La d´ efinition qui suit sera utile dans l’analyse de la convergence des it´ erations
de point fixe (6.55).
D´ efinition 6.2 On dit qu’une application G : D ⊂ R
n
→ R
n est contractante
sur l’ensemble D 0 ⊂ D s’il existe une constante α < 1 telle que G(x) −
G(y) ≤ αx − y pour tout x, y dans D 0 o` u · · est une norme vectorielle.
Une application contractante est aussi appel´ ee contraction.
Le th´ eor` eme suivant donne l’existence et l’unicit´ e d’un point fixe de G.
Propri´ et´ e 6.10 (th´ eor` eme de l’application contractante) Si G : D ⊂
R
n
→ R
n est une contraction sur un ensemble ferm´ e D 0 ⊂ D telle que G(x) ∈
D 0 pour tout x ∈ D 0 , alors G admet un unique point fixe dans D 0 .
Le r´ esultat suivant donne une condition suffisante pour avoir convergence de la
suite (6.55) (pour la preuve voir [OR70], p. 299-301). Il s’agit d’une extension
du Th´ eor` eme 6.3 vu dans le cas scalaire.
Propri´ et´ e 6.11 On suppose que G : D ⊂ R
n
→ R
n poss` ede un point fixe x
∗
` a l’int´ erieur de D et que G est continˆ ument diff´ erentiable dans un voisinage
de x
∗ . On note J G la jacobienne de G et on suppose que ρ(J G (x
(∗) )) < 1.
Alors il existe un voisinage S de x
∗ tel que S ⊂ D et, pour tout x
(0)
∈ S, la
suite d´ efinie par (6.55) demeure dans D et converge vers x
∗ .
Le rayon spectral ´ etant l’infimum des normes matricielles subordonn´ ees, il
suffit, pour ˆ etre assur´ e de la convergence, de v´ erifier qu’on a J G (x) < 1
pour une certaine norme.
Exemple 6.14 Consid´ erons le syst` eme non lin´ eaire
F(x) = [x
2
1 + x
2
2 − 1, 2x1 + x2 − 1]
T = 0,
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dans le cas scalaire. Nous r´ ecrivons pour cela le probl` eme (6.41) sous la forme :
´ etant donn´ e G : R
n
→ R
n , trouver x
∗
∈ R
n tel que G(x
∗ ) = x
∗ ,
(6.54)
o` u G satisfait la propri´ et´ e suivante : si x
∗ est un point fixe de G, alors F(x
∗ ) =
0.
Comme on l’a fait `
a la Section 6.3, on introduit la m´ ethode it´ erative suivante
pour r´ esoudre (6.54) :
´ etant donn´ e x
(0)
∈ R
n , calculer pour k = 0, 1, . . . jusqu’` a convergence,
x
(k+1) = G(x
(k) ).
(6.55)
La d´ efinition qui suit sera utile dans l’analyse de la convergence des it´ erations
de point fixe (6.55).
D´ efinition 6.2 On dit qu’une application G : D ⊂ R
n
→ R
n est contractante
sur l’ensemble D 0 ⊂ D s’il existe une constante α < 1 telle que G(x) −
G(y) ≤ αx − y pour tout x, y dans D 0 o` u · · est une norme vectorielle.
Une application contractante est aussi appel´ ee contraction.
Le th´ eor` eme suivant donne l’existence et l’unicit´ e d’un point fixe de G.
Propri´ et´ e 6.10 (th´ eor` eme de l’application contractante) Si G : D ⊂
R
n
→ R
n est une contraction sur un ensemble ferm´ e D 0 ⊂ D telle que G(x) ∈
D 0 pour tout x ∈ D 0 , alors G admet un unique point fixe dans D 0 .
Le r´ esultat suivant donne une condition suffisante pour avoir convergence de la
suite (6.55) (pour la preuve voir [OR70], p. 299-301). Il s’agit d’une extension
du Th´ eor` eme 6.3 vu dans le cas scalaire.
Propri´ et´ e 6.11 On suppose que G : D ⊂ R
n
→ R
n poss` ede un point fixe x
∗
` a l’int´ erieur de D et que G est continˆ ument diff´ erentiable dans un voisinage
de x
∗ . On note J G la jacobienne de G et on suppose que ρ(J G (x
(∗) )) < 1.
Alors il existe un voisinage S de x
∗ tel que S ⊂ D et, pour tout x
(0)
∈ S, la
suite d´ efinie par (6.55) demeure dans D et converge vers x
∗ .
Le rayon spectral ´ etant l’infimum des normes matricielles subordonn´ ees, il
suffit, pour ˆ etre assur´ e de la convergence, de v´ erifier qu’on a J G (x) < 1
pour une certaine norme.
Exemple 6.14 Consid´ erons le syst` eme non lin´ eaire
F(x) = [x
2
1 + x
2
2 − 1, 2x1 + x2 − 1]
T = 0,