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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
fk=fk1;
end
end
return
Exemple 6.12 R´ esolvons ` a l’aide de la m´ ethode de Broyden le syst` eme non lin´ eaire
de l’Exemple 6.11. La m´ ethode converge en 35 it´ erations vers la valeur [0.7·10
−8 , 0.7·
10
−8 ]
T , `
a comparer avec les 26 it´ erations de la m´ ethode de Newton (en partant de
la mˆ eme valeur initiale (x
(0) = [0.1, 0.1]
T )). La matrice Q0 a ´ et´ e choisie ´ egale ` a la
matrice jacobienne ´ evalu´ ee en x
(0) . La Figure 6.8 montre le comportement de la
norme euclidienne de l’erreur pour les deux m´ ethodes.
•
0
5
10
15
20
25
30
35
40
10
−9
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
Fig. 6.8. Norme euclidienne de l’erreur pour la m´ ethode de Newton (trait plein) et
pour la m´ ethode de Broyden (trait discontinu) dans le cas du syst` eme non lin´ eaire
de l’Exemple 6.11
Exemple 6.13 On r´ esout par la m´ ethode de Broyden le syst` eme non lin´ eaire
F(x) = [x1 + x2 − 3; x
2
1 + x
2
2 − 9]
T = 0. Ce syst` eme admet les deux solutions
[0, 3]
T et [3, 0]
T . La m´ ethode de Broyden converge en 8 it´ erations vers la solution [0, 3]
T quand on part de x
(0) = [2, 4]
T . Pourtant, la suite Qk, stock´ ee dans
la variable Q du Programme 54, ne converge pas vers la matrice jacobienne :
lim
k→∞
Q
(k) =
1
1
1.5 1.75
= JF
[0, 3]
T
=
1 1
0 6
.
•
6.7.5 M´ ethodes de point fixe
Nous concluons l’analyse des m´ ethodes de r´ esolution des syst` emes non lin´ eaires
en ´ etendant au cas de la dimension n les techniques de point fixe introduites