238
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Exemple 6.8 Le z´ ero de la fonction f (x) = e
−x − η, avec η > 0, est donn´ e par
α = − log(η). Pour η = 10
−9 , α 20.723 et f
(α) = −e
−α −10
−9 . On est donc
dans le cas o` u |f
(α)| | 1 et on veut examiner le comportement de la m´ ethode de
Newton dans l’approximation de α quand on adopte les crit` eres d’arrˆ et ci-dessus.
Nous pr´ esentons respectivement dans les Tables 6.5 et 6.6 les r´ esultats obtenus
avec le test bas´ e sur le r´ esidu (1) et sur l’incr´ ement (2). Nous avons pris x
(0) = 0 et
utilis´ e deux valeurs diff´ erentes pour la tol´ erance. Le nombre d’it´ erations requis par
la m´ ethode est not´ e nit.
Table 6.5. M´ ethode de Newton pour l’approximation de la racine de f (x) = e
−x −
η = 0. Le test d’arrˆ et est bas´ e sur le contrˆ ole du r´ esidu
ε
nit |f(x
(nit) )| |α − x
(nit)
| |α − x
(nit)
|/α
10
−10
22 5.9 · 10
−11
5.7 · 10
−2
0.27
10
−3
7
9.1 · 10
−4
13.7
66.2
Table 6.6. M´ ethode de Newton pour l’approximation de la racine de f (x) = e
−x −
η = 0. Le test d’arrˆ et est bas´ e sur le contrˆ ole de l’incr´ ement
ε
nit |x
(nit)
− x
(nit−1)
| |α − x
(nit)
| |α − x
(nit)
|/α
10
−10
26
8.4 · 10
−13
0
0
10
−3
25
1.3 · 10
−6
8.4 · 10
−13
4 · 10
−12
Comme on est dans le cas o` u φ
(α) = 0, le test bas´ e sur l’incr´ ement est satisfaisant pour les deux valeurs (tr` es diff´ erentes) de la tol´ erance ε, conform´ ement `
a (6.31).
En revanche, le test bas´ e sur le r´ esidu ne conduit `
a une estimation acceptable que
pour de tr` es petites tol´ erances, et se r´ ev` ele compl` etement inadapt´ e pour de grandes
valeurs de ε.
•
6.6 Techniques de post-traitement pour les m´ ethodes
it´ eratives
Nous concluons ce chapitre en introduisant deux algorithmes dont le but est
d’acc´ el´ erer la convergence des m´ ethodes it´ eratives de recherche des racines
d’une fonction.
6.6.1 Acc´ el´ eration d’Aitken
Nous d´ ecrivons cette technique dans le cas des m´ ethodes de point fixe `
a convergence lin´ eaire, et nous renvoyons ` a [IK66], p. 104–108, pour les m´ ethodes
d’ordre sup´ erieur.
Consid´ erons un algorithme de point fixe convergeant lin´ eairement vers un
z´ ero α d’une fonction f donn´ ee. En notant λ une approximation de φ
(α) `
a
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Exemple 6.8 Le z´ ero de la fonction f (x) = e
−x − η, avec η > 0, est donn´ e par
α = − log(η). Pour η = 10
−9 , α 20.723 et f
(α) = −e
−α −10
−9 . On est donc
dans le cas o` u |f
(α)| | 1 et on veut examiner le comportement de la m´ ethode de
Newton dans l’approximation de α quand on adopte les crit` eres d’arrˆ et ci-dessus.
Nous pr´ esentons respectivement dans les Tables 6.5 et 6.6 les r´ esultats obtenus
avec le test bas´ e sur le r´ esidu (1) et sur l’incr´ ement (2). Nous avons pris x
(0) = 0 et
utilis´ e deux valeurs diff´ erentes pour la tol´ erance. Le nombre d’it´ erations requis par
la m´ ethode est not´ e nit.
Table 6.5. M´ ethode de Newton pour l’approximation de la racine de f (x) = e
−x −
η = 0. Le test d’arrˆ et est bas´ e sur le contrˆ ole du r´ esidu
ε
nit |f(x
(nit) )| |α − x
(nit)
| |α − x
(nit)
|/α
10
−10
22 5.9 · 10
−11
5.7 · 10
−2
0.27
10
−3
7
9.1 · 10
−4
13.7
66.2
Table 6.6. M´ ethode de Newton pour l’approximation de la racine de f (x) = e
−x −
η = 0. Le test d’arrˆ et est bas´ e sur le contrˆ ole de l’incr´ ement
ε
nit |x
(nit)
− x
(nit−1)
| |α − x
(nit)
| |α − x
(nit)
|/α
10
−10
26
8.4 · 10
−13
0
0
10
−3
25
1.3 · 10
−6
8.4 · 10
−13
4 · 10
−12
Comme on est dans le cas o` u φ
(α) = 0, le test bas´ e sur l’incr´ ement est satisfaisant pour les deux valeurs (tr` es diff´ erentes) de la tol´ erance ε, conform´ ement `
a (6.31).
En revanche, le test bas´ e sur le r´ esidu ne conduit `
a une estimation acceptable que
pour de tr` es petites tol´ erances, et se r´ ev` ele compl` etement inadapt´ e pour de grandes
valeurs de ε.
•
6.6 Techniques de post-traitement pour les m´ ethodes
it´ eratives
Nous concluons ce chapitre en introduisant deux algorithmes dont le but est
d’acc´ el´ erer la convergence des m´ ethodes it´ eratives de recherche des racines
d’une fonction.
6.6.1 Acc´ el´ eration d’Aitken
Nous d´ ecrivons cette technique dans le cas des m´ ethodes de point fixe `
a convergence lin´ eaire, et nous renvoyons ` a [IK66], p. 104–108, pour les m´ ethodes
d’ordre sup´ erieur.
Consid´ erons un algorithme de point fixe convergeant lin´ eairement vers un
z´ ero α d’une fonction f donn´ ee. En notant λ une approximation de φ
(α) `
a