6.5 Crit` eres d’arrˆ et
237
f(x)
x
(k)
α
α
f(x)
x
(k)
Fig. 6.6. Deux situations o` u le test d’arrˆ et bas´ e sur le r´ esidu est trop restrictif
(quand |e
(k) | ≤ |f (x
(k) )|, ` a gauche) ou trop optimiste (quand |e
(k) | ≥ |f (x
(k) )|,
` a droite)
Soit
x
(k)
la suite produite par l’algorithme de point fixe x
(k+1) = φ(x
(k) ).
On obtient par un d´ eveloppement au premier ordre
e
(k+1) = φ(α) − φ(x
(k) ) = φ
(ξ
(k) )e
(k) ,
avec ξ
(k) entre x
(k) et α. Donc
x
(k+1)
− x
(k) = e
(k)
− e
(k+1) =
1 − φ
(ξ
(k) )
e
(k)
et, en supposant qu’on puisse remplacer φ
(ξ
(k) ) par φ
(α), on en d´ eduit que
e
(k)
1
1 − φ (α)
(x
(k+1)
− x
(k) ).
(6.31)
-1
1 φ
(α)
0
1
1
2
γ
Fig. 6.7. Comportement de γ = 1/(1 − φ
(α)) en fonction de φ
(α)
Comme le montre la Figure 6.7, on peut conclure que le test :
– n’est pas satisfaisant si φ
(α) est proche de 1 ;
– est optimal pour les m´ ethodes d’ordre 2 (pour lesquelles φ
(α) = 0) comme
la m´ ethode de Newton ;
– est encore satisfaisant si −1 < φ
(α) < 0.