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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
alfa2=alfa-px/pdx; err=abs(alfa2-alfa); alfa=alfa2;
end
end
itrefin(i)=itr-1; xn(k+1,i)=alfa; radix=alfa;
end
iter(i)=it; root(i)=radix; [px,B]=horner(A,Ndeg-1,xn(k+1,i)); A=B;
end
return
6.5 Crit` eres d’arrˆ et
Supposons que {x
(k)
} soit une suite qui converge vers un z´ ero α d’une fonction f. Nous donnons dans cette section quelques crit` eres d’arrˆ et pour interrompre le processus it´ eratif d’approximation de α. Tout comme ` a la Section 4.5
o` u nous avons envisag´ e le cas des m´ ethodes it´ eratives pour les syst` emes lin´ eaires, nous avons le choix entre deux types de crit` eres : ceux bas´ es sur le
r´ esidu et ceux bas´ es sur l’incr´ ement. Nous d´ esignerons par ε une tol´ erance
fix´ ee pour le calcul approch´ e de α et par e
(k) = α − x
(k) l’erreur absolue.
Nous supposerons de plus f continˆ ument diff´ erentiable dans un voisinage de
la racine.
1. Contrˆ ole du r´ esidu : les it´ erations s’ach` event d` es que |f(x
(k) )| < ε.
Il y a des situations pour lesquelles ce test s’av` ere trop restrictif ou, au
contraire, trop optimiste (voir Figure 6.6). L’estimation (6.6) donne
|e
(k)
|
|α|
m!
|f (m) (α)||α| m
1/m
|f(x
(k) )|
1/m .
En particulier, dans le cas des racines simples, l’erreur est major´ ee par le r´ esidu
multipli´ e par 1/|f
(α)|. On peut donc en tirer les conclusions suivantes :
1. si |f
(α)| | 1, alors |e
(k)
| | ε ; le test donne donc une indication satisfaisante de l’erreur ;
2. si |f
(α)| | 1, le test n’est pas bien adapt´ e car |e
(k)
| peut ˆ etre assez grand
par rapport `
a ε ;
3. si enfin |f
(α)| | 1, on a |e
(k)
| | ε et le test est trop restrictif.
Nous renvoyons `
a la Figure 6.6 pour une illustration de ces deux derniers cas.
Les conclusions qu’on vient de tirer sont conformes `
a celles de l’Exemple 2.4.
En effet, quand f
(α) 0, le conditionnement du probl` eme f(x) = 0 est tr` es
grand et le r´ esidu ne fournit donc pas une bonne indication de l’erreur.
2. Contrˆ ole de l’incr´ ement : les it´ erations s’ach` event d` es que |x
(k+1)
−
x
(k)
| < ε.
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
alfa2=alfa-px/pdx; err=abs(alfa2-alfa); alfa=alfa2;
end
end
itrefin(i)=itr-1; xn(k+1,i)=alfa; radix=alfa;
end
iter(i)=it; root(i)=radix; [px,B]=horner(A,Ndeg-1,xn(k+1,i)); A=B;
end
return
6.5 Crit` eres d’arrˆ et
Supposons que {x
(k)
} soit une suite qui converge vers un z´ ero α d’une fonction f. Nous donnons dans cette section quelques crit` eres d’arrˆ et pour interrompre le processus it´ eratif d’approximation de α. Tout comme ` a la Section 4.5
o` u nous avons envisag´ e le cas des m´ ethodes it´ eratives pour les syst` emes lin´ eaires, nous avons le choix entre deux types de crit` eres : ceux bas´ es sur le
r´ esidu et ceux bas´ es sur l’incr´ ement. Nous d´ esignerons par ε une tol´ erance
fix´ ee pour le calcul approch´ e de α et par e
(k) = α − x
(k) l’erreur absolue.
Nous supposerons de plus f continˆ ument diff´ erentiable dans un voisinage de
la racine.
1. Contrˆ ole du r´ esidu : les it´ erations s’ach` event d` es que |f(x
(k) )| < ε.
Il y a des situations pour lesquelles ce test s’av` ere trop restrictif ou, au
contraire, trop optimiste (voir Figure 6.6). L’estimation (6.6) donne
|e
(k)
|
|α|
m!
|f (m) (α)||α| m
1/m
|f(x
(k) )|
1/m .
En particulier, dans le cas des racines simples, l’erreur est major´ ee par le r´ esidu
multipli´ e par 1/|f
(α)|. On peut donc en tirer les conclusions suivantes :
1. si |f
(α)| | 1, alors |e
(k)
| | ε ; le test donne donc une indication satisfaisante de l’erreur ;
2. si |f
(α)| | 1, le test n’est pas bien adapt´ e car |e
(k)
| peut ˆ etre assez grand
par rapport `
a ε ;
3. si enfin |f
(α)| | 1, on a |e
(k)
| | ε et le test est trop restrictif.
Nous renvoyons `
a la Figure 6.6 pour une illustration de ces deux derniers cas.
Les conclusions qu’on vient de tirer sont conformes `
a celles de l’Exemple 2.4.
En effet, quand f
(α) 0, le conditionnement du probl` eme f(x) = 0 est tr` es
grand et le r´ esidu ne fournit donc pas une bonne indication de l’erreur.
2. Contrˆ ole de l’incr´ ement : les it´ erations s’ach` event d` es que |x
(k+1)
−
x
(k)
| < ε.