6.6 Techniques de post-traitement pour les m´ ethodes it´ eratives
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d´ efinir et en utilisant (6.18), on a pour k ≥ 1
α
x
(k)
− λx
(k−1)
1 − λ
=
x
(k)
− λx
(k) + λx
(k)
− λx
(k−1)
1 − λ
= x
(k) +
λ
1 − λ
(x
(k)
− x
(k−1) ).
(6.32)
La m´ ethode d’Aitken propose une mani` ere simple de calculer un λ susceptible
d’acc´ el´ erer la convergence de la suite {x
(k)
} vers la racine α. En introduisant
pour k ≥ 2 la quantit´ e
λ
(k) =
x
(k)
− x
(k−1)
x (k−1) − x (k−2) ,
(6.33)
on a
lim
k→∞
λ
(k) = φ
(α).
(6.34)
En effet, pour k assez grand, on a
x
(k+2)
− α φ
(α)(x
(k+1)
− α)
et donc
lim
k→∞
λ
(k) = lim
k→∞
x
(k)
− x
(k−1)
x (k−1) − x (k−2) = lim
k→∞
(x
(k)
− α) − (x
(k−1)
− α)
(x (k−1) − α) − (x (k−2) − α)
= lim
k→∞
x
(k)
− α
x (k−1) − α
− 1
1 −
x
(k−2)
− α
x (k−1) − α
=
φ
(α) − 1
1 −
1
φ (α)
= φ
(α) .
En rempla¸ cant dans (6.32) λ par son approximation λ
(k) donn´ ee par (6.33),
on obtient
α x
(k) +
λ
(k)
1 − λ (k) (x
(k)
− x
(k−1) ).
(6.35)
Cette relation n’est valable que pour de grandes valeurs de k. N´ eanmoins, en
supposant (6.35) vraie pour k ≥ 2, et en notant
x
(k) la nouvelle approximation
de α obtenue en r´ eintroduisant (6.33) dans (6.35), on a
x
(k) = x
(k)
−
(x
(k)
− x
(k−1) )
2
(x (k) − x (k−1) ) − (x (k−1) − x (k−2) )
,
k≥ 2.
(6.36)
Cette relation est connue sous le nom de formule d’extrapolation d’Aitken.
En posant, pour k ≥ 2,
(k) = x
(k)
− x
(k−1) ,
2 x
(k) = (x
(k) ) = x
(k+1)
− −x
(k) ,