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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Programme 47 - fixpoint : M´ ethode de point fixe
function [xvect,xdif,fx,nit]=fixpoint(x0,tol,nmax,fun,phi)
%FIXPOINT M´ ethode de point fixe
% [XVECT,XDIF,FX,NIT]=FIXPOINT(X0,TOL,NMAX,FUN,PHI) tente de trouver un
% z´ ero de la fonction continue FUN en utilisant la m´ ethode de point fixe
% X=PHI(X), en partant de la donn´ ee initiale X0.
% XVECT est le vecteur des it´ er´ ees, XDIF est le vecteur des diff´ erences
% entre it´ er´ ees cons´ ecutives, FX est le r´ esidu. TOL est la tol´ erance de
% la m´ ethode.
err=tol+1; nit=0;
xvect=x0; x=x0; fx=eval(fun); xdif=[];
while nittol
nit=nit+1;
x=xvect(nit);
xn=eval(phi);
err=abs(xn-x);
xdif=[xdif; err];
x=xn; xvect=[xvect;x]; fx=[fx;eval(fun)];
end
return
6.3.1 R´ esultats de convergence pour des m´ ethodes de point fixe
Le Th´ eor` eme 6.1 fournit un outil th´ eorique pour l’analyse de quelques m´ ethodes it´ eratives de la Section 6.2.2.
La m´ ethode de la corde. La relation (6.12) est un cas particulier de (6.17),
pour lequel φ(x) = φ corde (x) = x −q
−1 f(x) = x −(b −a)/(f(b)−f(a))f (x). Si
f
(α) = 0, φ
corde (α) = 1 et on ne peut assurer que la m´ ethode converge. Autrement, la condition |φ
corde (α)| < 1 revient `
a demander que 0 < q
−1 f
(α) < 2.
Ainsi, la pente q de la corde doit avoir le mˆ eme signe que f
(α), et l’intervalle de recherche [a, b] doit ˆ etre tel que
b − a < 2
f(b) − f(a)
f (α)
.
La m´ ethode de la corde converge en une it´ eration si f est affine, autrement
elle converge lin´ eairement, sauf dans le cas – exceptionnel – o` u f
(α) =
(f(b) − f(a))/(b − a), i.e. φ
corde (α) = 0 (la convergence est alors au moins
quadratique).
La m´ ethode de Newton. La relation (6.16) peut ˆ etre mise sous la forme
g´ en´ erale (6.17) en posant
φ Newt (x) = x −
f(x)
f (x)
.