6.3 It´ erations de point fixe pour les ´ equations non lin´ eaires
225
Propri´ et´ e 6.3 (th´ eor` eme d’Ostrowski) Soit α un point fixe d’une fonction φ continue et diff´ erentiable dans un voisinage J de α. Si |φ
(α)| < 1,
alors il existe δ > 0 tel que la suite {x
(k)
} converge vers α, pour tout x
(0) tel
que |x
(0)
− α| < δ.
Remarque 6.2 Si |φ
(α)| > 1, on d´ eduit de (6.19) que si x
(n) est assez proche
de α pour que |φ
(x
(n) )| > 1 alors |α − x
(n+1)
| > |α − x
(n)
| et la convergence
est impossible. Dans le cas o` u |φ
(α)| = 1, on ne peut en g´ en´ eral tirer aucune conclusion : selon le probl` eme consid´ er´ e, il peut y avoir convergence ou
divergence.
Exemple 6.5 Soit φ(x) = x − x
3 qui admet α = 0 comme point fixe. Bien que
φ
(α) = 1, si x
(0) ∈ [−1, 1] alors x
(k) ∈] − 1, 1[ pour k ≥ 1 et la suite converge
(tr` es lentement) vers α (si x
(0) = ±1, on a mˆ eme x
(k) = α pour tout k ≥ 1). En
partant de x
(0) = 1/2, l’erreur absolue apr` es 2000 it´ erations vaut 0.0158. Consid´ erons
maintenant φ(x) = x + x
3 qui a aussi α = 0 comme point fixe. A nouveau, φ
(α) = 1
mais dans ce cas la suite
x
(k)
diverge pour tout choix x
(0) = 0.
•
On dit qu’un point fixe est d’ordre p (p non n´ ecessairement entier) si la suite
construite par les it´ erations de point fixe converge vers le point fixe α avec un
ordre p au sens de la D´ efinition 6.1.
Propri´ et´ e 6.4 Si φ ∈ C
p+1 (J ) pour un certain voisinage J de α et un entier
p ≥ 1, et si φ
(i) (α) = 0 pour 1 ≤ i ≤ p et φ
(p+1) (α) = 0, alors la m´ ethode de
point fixe associ´ ee ` a la fonction d’it´ eration φ est d’ordre p + 1 et
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
(x (k) − α) p+1 =
φ
(p+1) (α)
(p + 1)!
.
(6.21)
D´ emonstration. Un d´ eveloppement de Taylor de φ en x = α donne
x
(k+1) − α =
p
i=0
φ
(i) (α)
i!
(x
(k) − α)
i +
φ
(p+1) (η)
(p + 1)!
(x
(k) − α)
p+1 − φ(α),
o` u η est entre x
(k) et α. Ainsi, on a
lim
k→∞
(x
(k+1) − α)
(x (k) − α) p+1 = lim
k→∞
φ
(p+1) (η)
(p + 1)!
=
φ
(p+1) (α)
(p + 1)!
.
3
Pour un ordre p fix´ e, la convergence de la suite vers α est d’autant plus rapide
que le membre de droite de (6.21) est petit.
La m´ ethode de point fixe (6.17) est impl´ ement´ ee dans le Programme 47. La
variable phi contient l’expression de la fonction d’it´ eration φ.
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Propri´ et´ e 6.3 (th´ eor` eme d’Ostrowski) Soit α un point fixe d’une fonction φ continue et diff´ erentiable dans un voisinage J de α. Si |φ
(α)| < 1,
alors il existe δ > 0 tel que la suite {x
(k)
} converge vers α, pour tout x
(0) tel
que |x
(0)
− α| < δ.
Remarque 6.2 Si |φ
(α)| > 1, on d´ eduit de (6.19) que si x
(n) est assez proche
de α pour que |φ
(x
(n) )| > 1 alors |α − x
(n+1)
| > |α − x
(n)
| et la convergence
est impossible. Dans le cas o` u |φ
(α)| = 1, on ne peut en g´ en´ eral tirer aucune conclusion : selon le probl` eme consid´ er´ e, il peut y avoir convergence ou
divergence.
Exemple 6.5 Soit φ(x) = x − x
3 qui admet α = 0 comme point fixe. Bien que
φ
(α) = 1, si x
(0) ∈ [−1, 1] alors x
(k) ∈] − 1, 1[ pour k ≥ 1 et la suite converge
(tr` es lentement) vers α (si x
(0) = ±1, on a mˆ eme x
(k) = α pour tout k ≥ 1). En
partant de x
(0) = 1/2, l’erreur absolue apr` es 2000 it´ erations vaut 0.0158. Consid´ erons
maintenant φ(x) = x + x
3 qui a aussi α = 0 comme point fixe. A nouveau, φ
(α) = 1
mais dans ce cas la suite
x
(k)
diverge pour tout choix x
(0) = 0.
•
On dit qu’un point fixe est d’ordre p (p non n´ ecessairement entier) si la suite
construite par les it´ erations de point fixe converge vers le point fixe α avec un
ordre p au sens de la D´ efinition 6.1.
Propri´ et´ e 6.4 Si φ ∈ C
p+1 (J ) pour un certain voisinage J de α et un entier
p ≥ 1, et si φ
(i) (α) = 0 pour 1 ≤ i ≤ p et φ
(p+1) (α) = 0, alors la m´ ethode de
point fixe associ´ ee ` a la fonction d’it´ eration φ est d’ordre p + 1 et
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
(x (k) − α) p+1 =
φ
(p+1) (α)
(p + 1)!
.
(6.21)
D´ emonstration. Un d´ eveloppement de Taylor de φ en x = α donne
x
(k+1) − α =
p
i=0
φ
(i) (α)
i!
(x
(k) − α)
i +
φ
(p+1) (η)
(p + 1)!
(x
(k) − α)
p+1 − φ(α),
o` u η est entre x
(k) et α. Ainsi, on a
lim
k→∞
(x
(k+1) − α)
(x (k) − α) p+1 = lim
k→∞
φ
(p+1) (η)
(p + 1)!
=
φ
(p+1) (α)
(p + 1)!
.
3
Pour un ordre p fix´ e, la convergence de la suite vers α est d’autant plus rapide
que le membre de droite de (6.21) est petit.
La m´ ethode de point fixe (6.17) est impl´ ement´ ee dans le Programme 47. La
variable phi contient l’expression de la fonction d’it´ eration φ.