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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Le choix de φ n’est pas unique. Par exemple, toute fonction de la forme
φ(x) = x + F (f(x)), o` u F est une fonction continue telle que F (0) = 0, est
une fonction d’it´ eration possible.
Les deux r´ esultats suivants donnent des conditions suffisantes pour que la
m´ ethode de point fixe (6.17) converge vers la racine α du probl` eme (6.1).
Th´ eor` eme 6.1 (convergence des it´ erations de point fixe) On se donne
x
(0) et on consid` ere la suite x
(k+1) = φ(x
(k) ), pour k ≥ 0. Si
1. ∀x ∈ [a, b], φ(x) ∈ [a, b],
2. φ ∈ C
1 ([a, b]),
3. ∃K < 1 : |φ
(x)| ≤ K ∀x ∈ [a, b],
alors φ a un unique point fixe α dans [a, b] et la suite {x
(k)
} converge vers α
pour tout choix de x
(0)
∈ [a, b]. De plus, on a
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
x (k) − α
= φ
(α).
(6.18)
D´ emonstration. L’hypoth` ese 1 et la continuit´ e de φ assurent que la fonction
d’it´ eration φ a au moins un point fixe dans [a, b]. L’hypoth` ese 3 implique que φ est
une contraction et assure l’unicit´ e du point fixe. Supposons en effet qu’il existe deux
valeurs α1 et α2 ∈ [a, b] telles que φ(α1) = α1 et φ(α2) = α2. Un d´ eveloppement de
Taylor donne
|α2 − α1| = |φ(α2) − φ(α1)| = |φ
(η)(α2 − α1)| ≤ K|α2 − α1| < |α2 − α1|,
avec η ∈]α1, α2[, d’o` u on d´ eduit α2 = α1.
On utilise `
a nouveau ce d´ eveloppement pour analyser la convergence de la suite
{x
(k) }. Pour k ≥ 0, il existe une valeur η
(k) entre α et x
(k) telle que
x
(k+1) − α = φ(x
(k) ) − φ(α) = φ
(η
(k) )(x
(k) − α) ,
(6.19)
d’o` u on d´ eduit que |x
(k+1) − α| ≤ K|x
(k) − α| ≤ K
k+1 |x
(0) − α| → 0 pour k → ∞.
Ainsi, x
(k) converge vers α et (6.19) implique que
lim
k→∞
x
(k+1) − α
x (k) − α
= lim
k→∞
φ
(η
(k) ) = φ
(α),
d’o` u (6.18).
3
La quantit´ e |φ
(α)| est appel´ ee facteur de convergence asymptotique, et
par analogie avec les m´ ethodes it´ eratives pour les syst` emes lin´ eaires, on peut
d´ efinir le taux de convergence asymptotique par
R = − log(|φ
(α)|).
(6.20)
Le Th´ eor` eme 6.1 assure la convergence, avec un ordre 1, de la suite {x
(k)
}
vers la racine α pour tout choix d’une valeur initiale x
(0)
∈ [a, b]. Il constitue
donc un exemple de r´ esultat de convergence globale.
Mais en pratique, il est souvent difficile de d´ eterminer a priori l’intervalle
[a, b] ; dans ce cas, le r´ esultat de convergence suivant peut ˆ etre utile (pour la
preuve, voir [OR70]).
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
Le choix de φ n’est pas unique. Par exemple, toute fonction de la forme
φ(x) = x + F (f(x)), o` u F est une fonction continue telle que F (0) = 0, est
une fonction d’it´ eration possible.
Les deux r´ esultats suivants donnent des conditions suffisantes pour que la
m´ ethode de point fixe (6.17) converge vers la racine α du probl` eme (6.1).
Th´ eor` eme 6.1 (convergence des it´ erations de point fixe) On se donne
x
(0) et on consid` ere la suite x
(k+1) = φ(x
(k) ), pour k ≥ 0. Si
1. ∀x ∈ [a, b], φ(x) ∈ [a, b],
2. φ ∈ C
1 ([a, b]),
3. ∃K < 1 : |φ
(x)| ≤ K ∀x ∈ [a, b],
alors φ a un unique point fixe α dans [a, b] et la suite {x
(k)
} converge vers α
pour tout choix de x
(0)
∈ [a, b]. De plus, on a
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
x (k) − α
= φ
(α).
(6.18)
D´ emonstration. L’hypoth` ese 1 et la continuit´ e de φ assurent que la fonction
d’it´ eration φ a au moins un point fixe dans [a, b]. L’hypoth` ese 3 implique que φ est
une contraction et assure l’unicit´ e du point fixe. Supposons en effet qu’il existe deux
valeurs α1 et α2 ∈ [a, b] telles que φ(α1) = α1 et φ(α2) = α2. Un d´ eveloppement de
Taylor donne
|α2 − α1| = |φ(α2) − φ(α1)| = |φ
(η)(α2 − α1)| ≤ K|α2 − α1| < |α2 − α1|,
avec η ∈]α1, α2[, d’o` u on d´ eduit α2 = α1.
On utilise `
a nouveau ce d´ eveloppement pour analyser la convergence de la suite
{x
(k) }. Pour k ≥ 0, il existe une valeur η
(k) entre α et x
(k) telle que
x
(k+1) − α = φ(x
(k) ) − φ(α) = φ
(η
(k) )(x
(k) − α) ,
(6.19)
d’o` u on d´ eduit que |x
(k+1) − α| ≤ K|x
(k) − α| ≤ K
k+1 |x
(0) − α| → 0 pour k → ∞.
Ainsi, x
(k) converge vers α et (6.19) implique que
lim
k→∞
x
(k+1) − α
x (k) − α
= lim
k→∞
φ
(η
(k) ) = φ
(α),
d’o` u (6.18).
3
La quantit´ e |φ
(α)| est appel´ ee facteur de convergence asymptotique, et
par analogie avec les m´ ethodes it´ eratives pour les syst` emes lin´ eaires, on peut
d´ efinir le taux de convergence asymptotique par
R = − log(|φ
(α)|).
(6.20)
Le Th´ eor` eme 6.1 assure la convergence, avec un ordre 1, de la suite {x
(k)
}
vers la racine α pour tout choix d’une valeur initiale x
(0)
∈ [a, b]. Il constitue
donc un exemple de r´ esultat de convergence globale.
Mais en pratique, il est souvent difficile de d´ eterminer a priori l’intervalle
[a, b] ; dans ce cas, le r´ esultat de convergence suivant peut ˆ etre utile (pour la
preuve, voir [OR70]).