6.4 Racines des ´ equations alg´ ebriques
227
En supposant f
(α) = 0 (i.e. α racine simple), on trouve
φ
Newt (α) = 0,
φ
Newt (α) =
f
(α)
f (α)
.
La m´ ethode de Newton est donc d’ordre 2. Si la racine α est de multiplicit´ e
m > 1, alors la m´ ethode (6.16) n’est plus du second ordre. En effet, on a alors
(voir Exercice 2)
φ
Newt (α) = 1 −
1
m
.
(6.22)
Si la valeur de m est connue a priori, on peut retrouver la convergence quadratique de la m´ ethode de Newton en recourant `
a la m´ ethode de Newton modifi´ ee
x
(k+1) = x
(k)
− m
f(x
(k) )
f (x (k) )
,
k ≥ 0.
(6.23)
Pour v´ erifier l’ordre de convergence des it´ erations (6.23), voir Exercice 2.
6.4 Racines des ´ equations alg´ ebriques
Dans cette section, nous consid´ erons le cas particulier o` u f est un polynˆ ome
de degr´ e n ≥ 0, i.e. une fonction de la forme
p n (x) =
n
i=0
a k x
k ,
(6.24)
o` u les a k sont des coefficients r´ eels donn´ es.
On peut aussi ´ ecrire p n sous la forme
p n (x) = a n (x − α 1 )
m1 ...(x − α k )
mk ,
k
l=1
m l = n ,
o` u α i d´ esigne la i-` eme racine et m i sa multiplicit´ e. D’autres ´ ecritures de p n
sont possibles, voir Section 6.4.1.
Les coefficients a k ´ etant r´ eels, si α est un z´ ero de p n alors son complexe
conjugu´ e ¯
α est ´ egalement un z´ ero de p n .
Le th´ eor` eme d’Abel dit que pour n ≥ 5 il n’existe pas de formule explicite
donnant les racines de p n (voir, p. ex., [MM71], Th´ eor` eme 10.1) ; ceci motive
la r´ esolution num´ erique de l’´ equation p n (x) = 0. Puisque les m´ ethodes introduites jusqu’` a pr´ esent n´ ecessitent un intervalle de recherche [a, b] ou une
donn´ ee initiale x
(0) , nous donnons deux r´ esultats qui peuvent ˆ etre utiles pour
localiser les z´ eros d’un polynˆ ome.
Propri´ et´ e 6.5 (r` egle des signes de Descartes) Soit p n ∈ P n . Notons ν
le nombre de changements de signe dans l’ensemble des coefficients {a j } et k
le nombre de racines r´ eelles positives de p n (chacune compt´ ee avec sa multiplicit´ e). Alors, k ≤ ν et ν − k est un nombre pair.
227
En supposant f
(α) = 0 (i.e. α racine simple), on trouve
φ
Newt (α) = 0,
φ
Newt (α) =
f
(α)
f (α)
.
La m´ ethode de Newton est donc d’ordre 2. Si la racine α est de multiplicit´ e
m > 1, alors la m´ ethode (6.16) n’est plus du second ordre. En effet, on a alors
(voir Exercice 2)
φ
Newt (α) = 1 −
1
m
.
(6.22)
Si la valeur de m est connue a priori, on peut retrouver la convergence quadratique de la m´ ethode de Newton en recourant `
a la m´ ethode de Newton modifi´ ee
x
(k+1) = x
(k)
− m
f(x
(k) )
f (x (k) )
,
k ≥ 0.
(6.23)
Pour v´ erifier l’ordre de convergence des it´ erations (6.23), voir Exercice 2.
6.4 Racines des ´ equations alg´ ebriques
Dans cette section, nous consid´ erons le cas particulier o` u f est un polynˆ ome
de degr´ e n ≥ 0, i.e. une fonction de la forme
p n (x) =
n
i=0
a k x
k ,
(6.24)
o` u les a k sont des coefficients r´ eels donn´ es.
On peut aussi ´ ecrire p n sous la forme
p n (x) = a n (x − α 1 )
m1 ...(x − α k )
mk ,
k
l=1
m l = n ,
o` u α i d´ esigne la i-` eme racine et m i sa multiplicit´ e. D’autres ´ ecritures de p n
sont possibles, voir Section 6.4.1.
Les coefficients a k ´ etant r´ eels, si α est un z´ ero de p n alors son complexe
conjugu´ e ¯
α est ´ egalement un z´ ero de p n .
Le th´ eor` eme d’Abel dit que pour n ≥ 5 il n’existe pas de formule explicite
donnant les racines de p n (voir, p. ex., [MM71], Th´ eor` eme 10.1) ; ceci motive
la r´ esolution num´ erique de l’´ equation p n (x) = 0. Puisque les m´ ethodes introduites jusqu’` a pr´ esent n´ ecessitent un intervalle de recherche [a, b] ou une
donn´ ee initiale x
(0) , nous donnons deux r´ esultats qui peuvent ˆ etre utiles pour
localiser les z´ eros d’un polynˆ ome.
Propri´ et´ e 6.5 (r` egle des signes de Descartes) Soit p n ∈ P n . Notons ν
le nombre de changements de signe dans l’ensemble des coefficients {a j } et k
le nombre de racines r´ eelles positives de p n (chacune compt´ ee avec sa multiplicit´ e). Alors, k ≤ ν et ν − k est un nombre pair.