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6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
´ etablir que des r´ esultats de convergence locale, c’est-` a-dire valables seulement
pour un x
(0) appartenant `
a un certain voisinage de la racine α. Les m´ ethodes
qui convergent vers α pour tout choix de x
(0) dans l’intervalle I sont dites
globalement convergentes vers α.
6.1 Conditionnement d’une ´ equation
Consid´ erons l’´ equation non lin´ eaire f(α) = ϕ(α) − d = 0 et supposons f
continˆ ument diff´ erentiable. On veut analyser la sensibilit´ e de la recherche des
racines de f par rapport `
a des perturbations de la donn´ ee d.
Le probl` eme n’est bien pos´ e que si la fonction ϕ est localement inversible.
Dans ce cas, on a α = ϕ
−1 (d), et, avec les notations du Chapitre 2, la r´ esolvante G est ϕ
−1 . Si ϕ
(α) = 0, alors (ϕ
−1 )
(d) = 1/ϕ
(α) et les formules
(2.7) donnant des approximations du conditionnement relatif et du conditionnement absolu s’´ ecrivent
K(d)
|d|
|α||f (α)|
,
K abs (d)
1
|f (α)|
.
(6.3)
Le probl` eme est mal conditionn´ e si f
(α) est “petit” et bien conditionn´ e si
f
(α) est “grand”.
Quand α est une racine de f de multiplicit´ e m > 1, on peut g´ en´ eraliser
l’analyse qui conduit `
a (6.3) de la mani` ere suivante. En ´ ecrivant le d´ eveloppement de Taylor de ϕ au point α jusqu’` a l’ordre m, on obtient
d + δd = ϕ(α + δα) = ϕ(α) +
m
k=1
ϕ
(k) (α)
k!
(δα)
k + o((δα)
m ).
Or ϕ
(k) (α) = 0 pour k = 1, . . . , m − 1, donc
δd = f
(m) (α)(δα)
m /m!,
de sorte qu’une approximation du conditionnement absolu est donn´ ee par
K abs (d)
m!δd
f (m) (α)
1/m 1
|δd|
.
(6.4)
Remarquer que (6.3) est un cas particulier de (6.4) pour m = 1. On d´ eduit
´ egalement de ceci que K abs (d) peut ˆ etre grand mˆ eme quand δd est assez petit
pour avoir |m!δd/f
(m) (α)| < 1. En conclusion, le probl` eme de la d´ etermination
d’une racine d’une ´ equation non lin´ eaire est bien conditionn´ e quand α est une
racine simple et quand |f
(α)| est tr` es diff´ erent de z´ ero. Il est mal conditionn´ e
sinon.
Consid´ erons ` a pr´ esent le probl` eme suivant, directement reli´ e au pr´ ec´ edent.
Supposons que d = 0, que α soit une racine de f, i.e. f(α) = 0, et que
6 R´ esolution des ´ equations et des syst` emes non lin´ eaires
´ etablir que des r´ esultats de convergence locale, c’est-` a-dire valables seulement
pour un x
(0) appartenant `
a un certain voisinage de la racine α. Les m´ ethodes
qui convergent vers α pour tout choix de x
(0) dans l’intervalle I sont dites
globalement convergentes vers α.
6.1 Conditionnement d’une ´ equation
Consid´ erons l’´ equation non lin´ eaire f(α) = ϕ(α) − d = 0 et supposons f
continˆ ument diff´ erentiable. On veut analyser la sensibilit´ e de la recherche des
racines de f par rapport `
a des perturbations de la donn´ ee d.
Le probl` eme n’est bien pos´ e que si la fonction ϕ est localement inversible.
Dans ce cas, on a α = ϕ
−1 (d), et, avec les notations du Chapitre 2, la r´ esolvante G est ϕ
−1 . Si ϕ
(α) = 0, alors (ϕ
−1 )
(d) = 1/ϕ
(α) et les formules
(2.7) donnant des approximations du conditionnement relatif et du conditionnement absolu s’´ ecrivent
K(d)
|d|
|α||f (α)|
,
K abs (d)
1
|f (α)|
.
(6.3)
Le probl` eme est mal conditionn´ e si f
(α) est “petit” et bien conditionn´ e si
f
(α) est “grand”.
Quand α est une racine de f de multiplicit´ e m > 1, on peut g´ en´ eraliser
l’analyse qui conduit `
a (6.3) de la mani` ere suivante. En ´ ecrivant le d´ eveloppement de Taylor de ϕ au point α jusqu’` a l’ordre m, on obtient
d + δd = ϕ(α + δα) = ϕ(α) +
m
k=1
ϕ
(k) (α)
k!
(δα)
k + o((δα)
m ).
Or ϕ
(k) (α) = 0 pour k = 1, . . . , m − 1, donc
δd = f
(m) (α)(δα)
m /m!,
de sorte qu’une approximation du conditionnement absolu est donn´ ee par
K abs (d)
m!δd
f (m) (α)
1/m 1
|δd|
.
(6.4)
Remarquer que (6.3) est un cas particulier de (6.4) pour m = 1. On d´ eduit
´ egalement de ceci que K abs (d) peut ˆ etre grand mˆ eme quand δd est assez petit
pour avoir |m!δd/f
(m) (α)| < 1. En conclusion, le probl` eme de la d´ etermination
d’une racine d’une ´ equation non lin´ eaire est bien conditionn´ e quand α est une
racine simple et quand |f
(α)| est tr` es diff´ erent de z´ ero. Il est mal conditionn´ e
sinon.
Consid´ erons ` a pr´ esent le probl` eme suivant, directement reli´ e au pr´ ec´ edent.
Supposons que d = 0, que α soit une racine de f, i.e. f(α) = 0, et que