6.1 Conditionnement d’une ´ equation
213
f(ˆ α) = ˆ
r = 0 pour ˆ
α = α. On cherche une majoration de la diff´ erence ˆ
α − α
en fonction du r´ esidu ˆ
r.
En appliquant (6.3) avec δα = ˆ
α − α et δd = ˆ
r, et en utilisant la d´ efinition
de K abs (2.5), on obtient
K abs (0)
1
|f (α)|
.
Par cons´ equent
| ˆ
α − α|
|α|
|ˆ r|
|f (α)||α|
,
(6.5)
o` u la notation a c signifie a ≤ c et a c. Si α est de multiplicit´ e m > 1, en
utilisant (6.4) au lieu de (6.3) et en proc´ edant comme ci-dessus, on obtient
| ˆ
α − α|
|α|
m!
|f (m) (α)||α| m
1/m
|ˆ r|
1/m .
(6.6)
Ces estimations seront utiles dans l’´ etude de crit` eres d’arrˆ et pour les m´ ethodes
it´ eratives (voir Section 6.5).
Consid´ erons maintenant le cas particulier o` u f est un polynˆ ome p n de
degr´ e n. Dans ce cas, il y a exactement n racines α i , r´ eelles ou complexes,
chacune ´ etant compt´ ee avec sa multiplicit´ e. Nous allons ´ etudier la sensibilit´ e
des racines de p n aux perturbations de ses coefficients.
Pour cela, on pose ˆ
p n = p n +q n , o` u q n est un polynˆ ome de perturbation de
degr´ e n, et on note ˆ
α i les racines de ˆ
p n . La relation (6.6) fournit directement,
pour une racine α i arbitraire, l’estimation suivante :
E
rel =
| ˆ
α i − α i |
|α i |
m!
|p
(m)
n (α i )||α i | m
1/m
|q n (ˆ α i )|
1/m = S
i ,
(6.7)
o` u m est la multiplicit´ e de la racine consid´ er´ ee et q n (ˆ α i ) = −p n (ˆ α i ) est le
“r´ esidu” du polynˆ ome p n ´ evalu´ e en la racine perturb´ ee.
Remarque 6.1 On peut ´ etablir une analogie formelle entre les estimations
a priori obtenues jusqu’` a pr´ esent pour le probl` eme non lin´ eaire ϕ(α) = d et
celles ´ etablies ` a la Section 3.1.2 pour les syst` emes lin´ eaires en rempla¸ cant ϕ
par A et d par b. Plus pr´ ecis´ ement, (6.5) est l’analogue de (3.9) si δA=0, et
de mˆ eme pour (6.7) (avec m = 1) si δb = 0.
Exemple 6.1 Soient p4(x) = (x − 1)
4 et ˆ
p4(x) = (x − 1)
4 − ε, avec 0 < ε 1. Les
racines du polynˆ ome perturb´ e sont simples et ´ egales ` a ˆ
αi = αi +
4
√
ε, o` u αi = 1 est
le z´ ero (multiple) de p4. Elles se situent dans le plan complexe sur le cercle de rayon
4
√
ε et de centre z = (1, 0)
T .
Le probl` eme est stable (car limε→0 ˆ
αi = 1), mais il est mal conditionn´ e car
| ˆ
αi − αi|
|αi|
=
4
√
ε,
i = 1, . . . 4,
213
f(ˆ α) = ˆ
r = 0 pour ˆ
α = α. On cherche une majoration de la diff´ erence ˆ
α − α
en fonction du r´ esidu ˆ
r.
En appliquant (6.3) avec δα = ˆ
α − α et δd = ˆ
r, et en utilisant la d´ efinition
de K abs (2.5), on obtient
K abs (0)
1
|f (α)|
.
Par cons´ equent
| ˆ
α − α|
|α|
|ˆ r|
|f (α)||α|
,
(6.5)
o` u la notation a c signifie a ≤ c et a c. Si α est de multiplicit´ e m > 1, en
utilisant (6.4) au lieu de (6.3) et en proc´ edant comme ci-dessus, on obtient
| ˆ
α − α|
|α|
m!
|f (m) (α)||α| m
1/m
|ˆ r|
1/m .
(6.6)
Ces estimations seront utiles dans l’´ etude de crit` eres d’arrˆ et pour les m´ ethodes
it´ eratives (voir Section 6.5).
Consid´ erons maintenant le cas particulier o` u f est un polynˆ ome p n de
degr´ e n. Dans ce cas, il y a exactement n racines α i , r´ eelles ou complexes,
chacune ´ etant compt´ ee avec sa multiplicit´ e. Nous allons ´ etudier la sensibilit´ e
des racines de p n aux perturbations de ses coefficients.
Pour cela, on pose ˆ
p n = p n +q n , o` u q n est un polynˆ ome de perturbation de
degr´ e n, et on note ˆ
α i les racines de ˆ
p n . La relation (6.6) fournit directement,
pour une racine α i arbitraire, l’estimation suivante :
E
rel =
| ˆ
α i − α i |
|α i |
m!
|p
(m)
n (α i )||α i | m
1/m
|q n (ˆ α i )|
1/m = S
i ,
(6.7)
o` u m est la multiplicit´ e de la racine consid´ er´ ee et q n (ˆ α i ) = −p n (ˆ α i ) est le
“r´ esidu” du polynˆ ome p n ´ evalu´ e en la racine perturb´ ee.
Remarque 6.1 On peut ´ etablir une analogie formelle entre les estimations
a priori obtenues jusqu’` a pr´ esent pour le probl` eme non lin´ eaire ϕ(α) = d et
celles ´ etablies ` a la Section 3.1.2 pour les syst` emes lin´ eaires en rempla¸ cant ϕ
par A et d par b. Plus pr´ ecis´ ement, (6.5) est l’analogue de (3.9) si δA=0, et
de mˆ eme pour (6.7) (avec m = 1) si δb = 0.
Exemple 6.1 Soient p4(x) = (x − 1)
4 et ˆ
p4(x) = (x − 1)
4 − ε, avec 0 < ε 1. Les
racines du polynˆ ome perturb´ e sont simples et ´ egales ` a ˆ
αi = αi +
4
√
ε, o` u αi = 1 est
le z´ ero (multiple) de p4. Elles se situent dans le plan complexe sur le cercle de rayon
4
√
ε et de centre z = (1, 0)
T .
Le probl` eme est stable (car limε→0 ˆ
αi = 1), mais il est mal conditionn´ e car
| ˆ
αi − αi|
|αi|
=
4
√
ε,
i = 1, . . . 4,