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R´ esolution des ´ equations
et des syst` emes non lin´ eaires
L’objet essentiel de ce chapitre est l’approximation des racines d’une fonction
r´ eelle d’une variable r´ eelle, c’est-` a-dire la r´ esolution approch´ ee du probl` eme
suivant :
´ etant donn´ e f : I =]a, b[⊆ R → R, trouver α ∈ C tel que f(α) = 0. (6.1)
L’analyse du probl` eme (6.1) dans le cas des syst` emes d’´ equations non lin´ eaires
sera ´ egalement abord´ ee dans la Section 6.7. Il est important de noter que, bien
que f soit ` a valeurs r´ eelles, ses z´ eros peuvent ˆ etre complexes. C’est par exemple
le cas quand f est un polynˆ ome, comme nous le verrons ` a la Section 6.4. On
renvoie le lecteur ` a [QSS07], chapitre 7 pour les probl` emes d’optimisation.
Les m´ ethodes pour approcher une racine α de f sont en g´ en´ eral it´ eratives :
elles consistent ` a construire une suite
x
(k)
telle que
lim
k→∞
x
(k) = α.
La convergence des it´ erations est caract´ eris´ ee par la d´ efinition suivante :
D´ efinition 6.1 On dit qu’une suite
x
(k)
construite par une m´ ethode num´ erique converge vers α avec un ordre p ≥ 1 si
∃C > 0 :
|x
(k+1)
− α|
|x (k) − α| p ≤ C, ∀k ≥ k 0 ,
(6.2)
o` u k 0 ≥ 0 est un entier. Dans ce cas, on dit que la m´ ethode est d’ordre
p. Remarquer que si p est ´ egal ` a 1, il est n´ ecessaire que C < 1 dans (6.2)
pour que x
(k) converge vers α. On appelle alors la constante C facteur de
convergence de la m´ ethode.
Contrairement au cas des syst` emes lin´ eaires, la convergence des m´ ethodes
it´ eratives pour la d´ etermination des racines d’une ´ equation non lin´ eaire d´ epend
en g´ en´ eral du choix de la donn´ ee initiale x
(0) . Le plus souvent, on ne sait
R´ esolution des ´ equations
et des syst` emes non lin´ eaires
L’objet essentiel de ce chapitre est l’approximation des racines d’une fonction
r´ eelle d’une variable r´ eelle, c’est-` a-dire la r´ esolution approch´ ee du probl` eme
suivant :
´ etant donn´ e f : I =]a, b[⊆ R → R, trouver α ∈ C tel que f(α) = 0. (6.1)
L’analyse du probl` eme (6.1) dans le cas des syst` emes d’´ equations non lin´ eaires
sera ´ egalement abord´ ee dans la Section 6.7. Il est important de noter que, bien
que f soit ` a valeurs r´ eelles, ses z´ eros peuvent ˆ etre complexes. C’est par exemple
le cas quand f est un polynˆ ome, comme nous le verrons ` a la Section 6.4. On
renvoie le lecteur ` a [QSS07], chapitre 7 pour les probl` emes d’optimisation.
Les m´ ethodes pour approcher une racine α de f sont en g´ en´ eral it´ eratives :
elles consistent ` a construire une suite
x
(k)
telle que
lim
k→∞
x
(k) = α.
La convergence des it´ erations est caract´ eris´ ee par la d´ efinition suivante :
D´ efinition 6.1 On dit qu’une suite
x
(k)
construite par une m´ ethode num´ erique converge vers α avec un ordre p ≥ 1 si
∃C > 0 :
|x
(k+1)
− α|
|x (k) − α| p ≤ C, ∀k ≥ k 0 ,
(6.2)
o` u k 0 ≥ 0 est un entier. Dans ce cas, on dit que la m´ ethode est d’ordre
p. Remarquer que si p est ´ egal ` a 1, il est n´ ecessaire que C < 1 dans (6.2)
pour que x
(k) converge vers α. On appelle alors la constante C facteur de
convergence de la m´ ethode.
Contrairement au cas des syst` emes lin´ eaires, la convergence des m´ ethodes
it´ eratives pour la d´ etermination des racines d’une ´ equation non lin´ eaire d´ epend
en g´ en´ eral du choix de la donn´ ee initiale x
(0) . Le plus souvent, on ne sait