5.9 Exercices
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6. V´ erifier que la d´ etermination des z´ eros d’un polynˆ ome de degr´ e ≤ n ` a coefficients
r´ eels
pn(x) =
n
k=0
akx
k = a0 + a1x + ... + anx
n , an = 0, ak ∈ R, k = 0, . . . n ,
est ´ equivalente ` a la d´ etermination du spectre de la matrice de Frobenius C ∈
R
n×n associ´ ee ` a pn (appel´ ee matrice compagnon)
C =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−(an−1/an) −(an−2/an) . . . −(a1/an) −(a0/an)
1
0
. . .
0
0
0
1
. . .
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
1
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. (5.62)
Il est important de noter que, grˆ ace au th´ eor` eme d’Abel, on d´ eduit de ce r´ esultat
qu’il n’existe pas de m´ ethodes directes g´ en´ erales pour calculer les valeurs propres
d’une matrice quand n ≥ 5.
7. Montrer que si la matrice A ∈ C
n×n admet un couple (λ, x) de valeur
propre/vecteur propre, alors la matrice U
∗ AU, avec U unitaire, admet le couple
de valeur propre/vecteur propre (λ, U
∗ x).
8. Supposer que toutes les hypoth` eses n´ ecessaires pour appliquer la m´ ethode de
la puissance sont satisfaites except´ ee α1 = 0 (voir Section 5.3.1). Montrer que
dans ce cas la suite (5.17) converge vers le couple valeur propre/vecteur propre
(λ2, x2). Etudier alors exp´ erimentalement le comportement de la m´ ethode en
calculant (λ1, x1) pour la matrice
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 −1 2
−2
0 5
6 −3 6
⎤
⎥
⎥
⎦ .
Utiliser pour cela le Programme 24 en prenant q
(0) = 1/
√
3 et q
(0) =
w
(0) /w
(0) 2, avec w
(0) = (1/3)x2 − (2/3)x3.
[Solution : λ1 = 5, λ2 = 3, λ3 = −1 et x1 = [5, 16, 18]
T , x2 = [1, 6, 4]
T ,
x3 = [5, 16, 18]
T .]
9. Montrer que la matrice compagnon associ´ ee au polynˆ ome pn(x) = x
n +anx
n−1 +
. . . + a1, peut ˆ etre ´ ecrite
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
a1
0
−1 0
a2
. . .
. . .
. . .
−1 0
an−1
0
−1
an
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
,
au lieu de (5.62).