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5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
5.9 Exercices
1. Avec les th´ eor` emes de Gershgorin, localiser les valeurs propres de la matrice A obtenue en posant A = (P
−1 DP)
T puis a1,3 = 0, a2,3 = 0, o` u
D=diag3(1, 50, 100) et
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1
1
1
10
20 30
100 50 60
⎤
⎥
⎥
⎦ .
[Solution : σ(A) = {−151.84, 80.34, 222.5}.]
2. Localiser la valeur propre de plus petit module de la matrice
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 −1
2 7
0
−1 0
5
⎤
⎥
⎥
⎦ .
[Solution : σ(A) ⊂ [−2, 9].]
3. Donner une estimation du nombre de valeurs propres complexes de la matrice
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−4 0
0 0.5 0
2 2
4 −3 1
0.5 0
−1
0 0
0.5 0
0.2
3 0
2 0.5 −1
3 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
.
[Indication : v´ erifier que A peut ˆ etre r´ eduite sous la forme
A =
M1 M2
0
M3
o` u M1 ∈ R
2×2 et M2 ∈ R
3×3 . Puis ´ etudier les valeurs propres des blocs M1 et
M2 en utilisant les th´ eor` emes de Gershgorin et v´ erifier que A n’a pas de valeur
propre complexe.]
4. Soit A ∈ C
n×n une matrice bidiagonale et soit
A = A + E une perturbation de
A avec eii = 0 pour i = 1, . . . , n. Montrer que
|λi(
A) − λi(A)| ≤
n
j=1
|eij|,
i= 1, . . . , n.
(5.61)
5. Soit ε ≥ 0. Appliquer l’estimation (5.61) dans le cas o` u les matrices A et E sont
donn´ ees par
A =
1 0
0 2
,
E =
0 ε
ε 0
.
[Solution : σ(A) = {1, 2} et σ(
A) = (3 ∓
√
1 + 4ε 2 )/2.]