208
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
10. (D’apr` es [FF63]) On suppose que la matrice r´ eelle A ∈ R
n×n a deux valeurs
propres complexes de modules maximaux λ1 = ρe
iθ et λ2 = ρe
−iθ , avec θ = 0.
On suppose de plus que les valeurs propres restantes ont des modules inf´ erieurs
` a ρ. La m´ ethode de la puissance peut ˆ etre modifi´ ee comme suit :
soit q
(0) un vecteur r´ eel et q
(k) le vecteur donn´ e par la m´ ethode de la puissance
sans normalisation. On pose alors xk = q
(k)
n 0 pour un certain n0 tel que 1 ≤
n0 ≤ n. Montrer que
ρ
2 =
xkxk+2 − x
2
k+1
xk−1xk+1 − x
2
k
+ O
λ3
ρ
k
,
cos(θ) =
ρxk−1 + r
−1 xk+1
2xk
+ O
λ3
ρ
k
.
[Indication : montrer d’abord que
xk = C(ρ
k cos(kθ + α)) + O
λ3
ρ
k
,
o` u α d´ epend des composantes du vecteur initial suivant les directions des vecteurs propres associ´ es ` a λ1 et λ2.]
11. Appliquer la m´ ethode de la puissance modifi´ ee de l’Exercice 10 `
a la matrice
A =
⎡
⎣
1 −
1
4
1
4
1
0
0
0
1
0
⎤
⎦ ,
et comparer les r´ esultats obtenus avec ceux de la m´ ethode de la puissance
classique.