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5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
positive, λ 1 et λ n permettent de calculer la valeur optimale du param` etre
d’acc´ el´ eration de la m´ ethode de Richardson, d’estimer son facteur de r´ eduction
d’erreur (voir Chapitre 4), et d’effectuer l’analyse de stabilit´ e des m´ ethodes de
discr´ etisation des syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires (voir Chapitre
10).
5.3.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module
Soit A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable et soit X ∈ C
n×n la matrice de
ses vecteurs propres x i , pour i = 1, . . ., n. Supposons les valeurs propres de A
ordonn´ ees de la fa¸ con suivante
|λ 1 | > |λ 2 | ≥ |λ 3 | . . . ≥ |λ n |,
(5.16)
et supposons que λ 1 ait une multiplicit´ e alg´ ebrique ´ egale ` a 1. Sous ces hypoth` eses, λ 1 est appel´ ee valeur propre dominante de la matrice A.
Etant donn´ e un vecteur initial arbitraire q
(0)
∈ C
n de norme euclidienne ´ egale
` a 1, consid´ erons pour k = 1, 2, . . . la m´ ethode it´ erative suivante, connue sous
le nom de m´ ethode de la puissance :
z
(k) = Aq
(k−1) ,
q
(k) = z
(k) /z
(k)
2 ,
ν
(k) = (q
(k) )
∗ Aq
(k) .
(5.17)
Analysons les propri´ et´ es de convergence de la m´ ethode (5.17). Par r´ ecurrence
sur k, on peut v´ erifier que
q
(k) =
A
k q
(0)
k q (0) 2
,
k ≥ 1.
(5.18)
Cette relation rend explicite le rˆ ole jou´ e par les puissances de A. Ayant suppos´ e
la matrice A diagonalisable, ses vecteurs propres x i forment une base de C
n
sur laquelle on peut d´ ecomposer q
(0) :
q
(0) =
n
i=1
α i x i ,
α i ∈ C,
i= 1, . . . , n.
(5.19)
De plus, comme Ax i = λ i x i , on a
A
k q
(0) = α 1 λ
k
1
x 1 +
n
i=2
α i
α 1
λ i
λ 1
k
x i
, k = 1, 2, . . .
(5.20)
Quand k augmente, comme |λ i /λ 1 | < 1 pour i = 2, . . . , n, la composante le
long de x 1 du vecteur A
k q
(0) (et donc aussi celle de q
(k) d’apr` es (5.18)) augmente, tandis que ses composantes suivant les autres directions x j diminuent.
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
positive, λ 1 et λ n permettent de calculer la valeur optimale du param` etre
d’acc´ el´ eration de la m´ ethode de Richardson, d’estimer son facteur de r´ eduction
d’erreur (voir Chapitre 4), et d’effectuer l’analyse de stabilit´ e des m´ ethodes de
discr´ etisation des syst` emes d’´ equations diff´ erentielles ordinaires (voir Chapitre
10).
5.3.1 Approximation de la valeur propre de plus grand module
Soit A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable et soit X ∈ C
n×n la matrice de
ses vecteurs propres x i , pour i = 1, . . ., n. Supposons les valeurs propres de A
ordonn´ ees de la fa¸ con suivante
|λ 1 | > |λ 2 | ≥ |λ 3 | . . . ≥ |λ n |,
(5.16)
et supposons que λ 1 ait une multiplicit´ e alg´ ebrique ´ egale ` a 1. Sous ces hypoth` eses, λ 1 est appel´ ee valeur propre dominante de la matrice A.
Etant donn´ e un vecteur initial arbitraire q
(0)
∈ C
n de norme euclidienne ´ egale
` a 1, consid´ erons pour k = 1, 2, . . . la m´ ethode it´ erative suivante, connue sous
le nom de m´ ethode de la puissance :
z
(k) = Aq
(k−1) ,
q
(k) = z
(k) /z
(k)
2 ,
ν
(k) = (q
(k) )
∗ Aq
(k) .
(5.17)
Analysons les propri´ et´ es de convergence de la m´ ethode (5.17). Par r´ ecurrence
sur k, on peut v´ erifier que
q
(k) =
A
k q
(0)
k q (0) 2
,
k ≥ 1.
(5.18)
Cette relation rend explicite le rˆ ole jou´ e par les puissances de A. Ayant suppos´ e
la matrice A diagonalisable, ses vecteurs propres x i forment une base de C
n
sur laquelle on peut d´ ecomposer q
(0) :
q
(0) =
n
i=1
α i x i ,
α i ∈ C,
i= 1, . . . , n.
(5.19)
De plus, comme Ax i = λ i x i , on a
A
k q
(0) = α 1 λ
k
1
x 1 +
n
i=2
α i
α 1
λ i
λ 1
k
x i
, k = 1, 2, . . .
(5.20)
Quand k augmente, comme |λ i /λ 1 | < 1 pour i = 2, . . . , n, la composante le
long de x 1 du vecteur A
k q
(0) (et donc aussi celle de q
(k) d’apr` es (5.18)) augmente, tandis que ses composantes suivant les autres directions x j diminuent.