5.3 La m´ ethode de la puissance
171
Propri´ et´ e 5.5 On reprend les hypoth` eses du Th´ eor` eme 5.5, et on suppose que
|λ i −
λ| ≤ ≤ r 2 pour i = 1, . . ., m et que |λ i −
λ| ≥ δ > 0 pour i = m+1, . . . , n.
Alors
d( x, U m ) ≤
r 2
δ
,
(5.15)
o` u d( x, U m ) est la distance euclidienne entre
x et l’espace U m engendr´ e par
les vecteurs propres u i , i = 1, . . ., m associ´ es aux valeurs propres λ i de A.
L’estimation a posteriori (5.15) assure qu’une petite erreur absolue correspond
` a un petit r´ esidu dans l’approximation du vecteur propre associ´ e ` a la valeur
propre de A qui est la plus proche de λ, `
a condition que les valeurs propres
de A soient bien s´ epar´ ees (c’est-` a-dire que δ soit assez grand).
Pour une matrice A non hermitienne quelconque, on ne sait donner une estimation a posteriori pour la valeur propre
λ que si l’on dispose de la matrice
des vecteurs propres de A. On a en effet le r´ esultat suivant (pour la preuve,
voir [IK66], p. 146) :
Propri´ et´ e 5.6 Soient A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable et X une matrice de vecteurs propres ind´ ependants X = [x 1 , . . . , x n ] telle que X
−1 AX =
diag (λ 1 , . . . , λ n ). Si, pour un ε > 0,
r 2 ≤ ε x 2 ,
alors
min
λi∈σ(A)
|
λ − λ i | ≤ εX
−1
2 X 2 .
Cette estimation est d’une utilit´ e pratique limit´ ee car elle requiert la connaissance de tous les vecteurs propres de A. Des estimations a posteriori pouvant
ˆ etre effectivement impl´ ement´ ees dans un algorithme num´ erique seront propos´ ees aux Sections 5.3.1 et 5.3.2.
5.3 La m´ ethode de la puissance
La m´ ethode de la puissance fournit une tr` es bonne approximation des valeurs
propres extr´ emales d’une matrice et des vecteurs propres associ´ es. On notera
λ 1 et λ n les valeurs propres ayant respectivement le plus grand et le plus petit
module.
La r´ esolution d’un tel probl` eme pr´ esente un grand int´ erˆ et dans beaucoup
d’applications concr` etes (sismique, ´ etude des vibrations des structures et des
machines, analyse de r´ eseaux ´ electriques, m´ ecanique quantique, . . .) dans lesquelles λ n et le vecteur propre associ´ e x n permettent la d´ etermination de la
fr´ equence propre et du mode fondamental d’un syst` eme physique donn´ e.
Il peut ˆ etre aussi utile de disposer d’approximations de λ 1 et λ n pour
analyser des m´ ethodes num´ eriques. Par exemple, si A est sym´ etrique d´ efinie
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Propri´ et´ e 5.5 On reprend les hypoth` eses du Th´ eor` eme 5.5, et on suppose que
|λ i −
λ| ≤ ≤ r 2 pour i = 1, . . ., m et que |λ i −
λ| ≥ δ > 0 pour i = m+1, . . . , n.
Alors
d( x, U m ) ≤
r 2
δ
,
(5.15)
o` u d( x, U m ) est la distance euclidienne entre
x et l’espace U m engendr´ e par
les vecteurs propres u i , i = 1, . . ., m associ´ es aux valeurs propres λ i de A.
L’estimation a posteriori (5.15) assure qu’une petite erreur absolue correspond
` a un petit r´ esidu dans l’approximation du vecteur propre associ´ e ` a la valeur
propre de A qui est la plus proche de λ, `
a condition que les valeurs propres
de A soient bien s´ epar´ ees (c’est-` a-dire que δ soit assez grand).
Pour une matrice A non hermitienne quelconque, on ne sait donner une estimation a posteriori pour la valeur propre
λ que si l’on dispose de la matrice
des vecteurs propres de A. On a en effet le r´ esultat suivant (pour la preuve,
voir [IK66], p. 146) :
Propri´ et´ e 5.6 Soient A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable et X une matrice de vecteurs propres ind´ ependants X = [x 1 , . . . , x n ] telle que X
−1 AX =
diag (λ 1 , . . . , λ n ). Si, pour un ε > 0,
r 2 ≤ ε x 2 ,
alors
min
λi∈σ(A)
|
λ − λ i | ≤ εX
−1
2 X 2 .
Cette estimation est d’une utilit´ e pratique limit´ ee car elle requiert la connaissance de tous les vecteurs propres de A. Des estimations a posteriori pouvant
ˆ etre effectivement impl´ ement´ ees dans un algorithme num´ erique seront propos´ ees aux Sections 5.3.1 et 5.3.2.
5.3 La m´ ethode de la puissance
La m´ ethode de la puissance fournit une tr` es bonne approximation des valeurs
propres extr´ emales d’une matrice et des vecteurs propres associ´ es. On notera
λ 1 et λ n les valeurs propres ayant respectivement le plus grand et le plus petit
module.
La r´ esolution d’un tel probl` eme pr´ esente un grand int´ erˆ et dans beaucoup
d’applications concr` etes (sismique, ´ etude des vibrations des structures et des
machines, analyse de r´ eseaux ´ electriques, m´ ecanique quantique, . . .) dans lesquelles λ n et le vecteur propre associ´ e x n permettent la d´ etermination de la
fr´ equence propre et du mode fondamental d’un syst` eme physique donn´ e.
Il peut ˆ etre aussi utile de disposer d’approximations de λ 1 et λ n pour
analyser des m´ ethodes num´ eriques. Par exemple, si A est sym´ etrique d´ efinie