170
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
Propri´ et´ e 5.4 Les vecteurs propres x k et x k (ε) des matrices A et A(ε) =
A + εE, avec x k (ε) 2 = x k 2 = 1 pour k = 1, . . ., n, satisfont
k (ε) − x k 2 ≤
ε
min j =k |λ k − λ j |
+ O(ε
2 )
∀k = 1, . . ., n.
Comme en (5.11), on peut voir la quantit´ e
κ(x k ) =
1
min j =k |λ k − λ j |
comme le conditionnement du vecteur propre x k . Le calcul de x k peut donc
ˆ etre mal conditionn´ e s’il y a des valeurs propres λ j “tr` es proches” de la valeur
propre λ k associ´ ee ` a x k .
5.2.2 Estimations a posteriori
Les estimations a priori vues ` a la section pr´ ec´ edente permettent d’obtenir
les propri´ et´ es de stabilit´ e d’un probl` eme aux valeurs et aux vecteurs propres.
Du point de vue de l’impl´ ementation, il est ´ egalement important de disposer
d’estimations a posteriori qui permettent de contrˆ oler la qualit´ e de l’approximation pendant l’ex´ ecution. Les r´ esultats de cette section pourront servir `
a la
d´ efinition de crit` eres d’arrˆ et pertinents pour les m´ ethodes it´ eratives que nous
verrons plus loin.
Th´ eor` eme 5.5 Soit A ∈ C
n×n une matrice hermitienne et soit (
λ, x) l’approximation d’un couple (λ, x) form´ e d’une valeur propre et d’un vecteur
propre de A. En d´ efinissant le r´ esidu par
r = A x −
λ x,
x = 0,
on a
min
λi∈σ(A)
|
λ − λ i | ≤
r 2
x 2
.
(5.13)
D´ emonstration. Comme A est hermitienne, on peut construire une base orthonormale de C
n constitu´ ee des vecteurs propres {uk} de A. En particulier,
x =
n
i=1
αiui avec αi = u
∗
i
x, et donc r =
n
i=1
αi(λi −
λ)ui. Par cons´ equent
r2
x2
2
=
n
i=1
βi(λi −
λ)
2
avec βi = |αk|
2 /(
n
j=1
|αj|
2 ).
(5.14)
Comme
n
i=1
βi = 1, l’in´ egalit´ e (5.13) d´ ecoule imm´ ediatement de (5.14).
3
L’estimation (5.13) assure qu’un petit r´ esidu relatif induit une petite erreur
absolue dans le calcul de la valeur propre de A la plus proche de
λ.
Consid´ erons maintenant l’estimation a posteriori suivante pour le vecteur
propre
x (pour la preuve, voir [IK66], p. 142-143).
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
Propri´ et´ e 5.4 Les vecteurs propres x k et x k (ε) des matrices A et A(ε) =
A + εE, avec x k (ε) 2 = x k 2 = 1 pour k = 1, . . ., n, satisfont
k (ε) − x k 2 ≤
ε
min j =k |λ k − λ j |
+ O(ε
2 )
∀k = 1, . . ., n.
Comme en (5.11), on peut voir la quantit´ e
κ(x k ) =
1
min j =k |λ k − λ j |
comme le conditionnement du vecteur propre x k . Le calcul de x k peut donc
ˆ etre mal conditionn´ e s’il y a des valeurs propres λ j “tr` es proches” de la valeur
propre λ k associ´ ee ` a x k .
5.2.2 Estimations a posteriori
Les estimations a priori vues ` a la section pr´ ec´ edente permettent d’obtenir
les propri´ et´ es de stabilit´ e d’un probl` eme aux valeurs et aux vecteurs propres.
Du point de vue de l’impl´ ementation, il est ´ egalement important de disposer
d’estimations a posteriori qui permettent de contrˆ oler la qualit´ e de l’approximation pendant l’ex´ ecution. Les r´ esultats de cette section pourront servir `
a la
d´ efinition de crit` eres d’arrˆ et pertinents pour les m´ ethodes it´ eratives que nous
verrons plus loin.
Th´ eor` eme 5.5 Soit A ∈ C
n×n une matrice hermitienne et soit (
λ, x) l’approximation d’un couple (λ, x) form´ e d’une valeur propre et d’un vecteur
propre de A. En d´ efinissant le r´ esidu par
r = A x −
λ x,
x = 0,
on a
min
λi∈σ(A)
|
λ − λ i | ≤
r 2
x 2
.
(5.13)
D´ emonstration. Comme A est hermitienne, on peut construire une base orthonormale de C
n constitu´ ee des vecteurs propres {uk} de A. En particulier,
x =
n
i=1
αiui avec αi = u
∗
i
x, et donc r =
n
i=1
αi(λi −
λ)ui. Par cons´ equent
r2
x2
2
=
n
i=1
βi(λi −
λ)
2
avec βi = |αk|
2 /(
n
j=1
|αj|
2 ).
(5.14)
Comme
n
i=1
βi = 1, l’in´ egalit´ e (5.13) d´ ecoule imm´ ediatement de (5.14).
3
L’estimation (5.13) assure qu’un petit r´ esidu relatif induit une petite erreur
absolue dans le calcul de la valeur propre de A la plus proche de
λ.
Consid´ erons maintenant l’estimation a posteriori suivante pour le vecteur
propre
x (pour la preuve, voir [IK66], p. 142-143).