5.2 Analyse de stabilit´ e et conditionnement
169
L’estimation (5.10) d´ ecoule alors de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz.
3
Remarquer que |y
∗ x| = | cos(θ λ )|, o` u θ λ est l’angle entre les vecteurs propres
y
∗ et x (les deux ayant une norme euclidienne ´ egale ` a 1). Ainsi, quand ces
deux vecteurs sont presque orthogonaux le calcul de la valeur propre λ devient
mal conditionn´ e. On peut donc prendre la quantit´ e
κ(λ) =
1
|y ∗ x|
=
1
| cos(θ λ )|
(5.11)
comme le conditionnement de la valeur propre λ. On a ´ evidemment κ(λ) ≥ 1 ;
quand A est une matrice normale, comme elle est unitairement semblable
` a une matrice diagonale, les vecteurs propres ` a gauche et ` a droite y et x
co¨ ıncident, ce qui implique κ(λ) = 1/x
2
2 = 1.
On peut interpr´ eter de mani` ere heuristique l’in´ egalit´ e (5.10) en disant que
des perturbations d’ordre δε dans les coefficients de la matrice A induisent
une modification d’ordre δλ = δε/| cos(θ λ )| dans les valeurs propres λ. Si on
consid` ere des matrices normales, le calcul de λ est un probl` eme bien conditionn´ e ; on verra dans les prochaines sections qu’on peut traiter le cas d’une
matrice quelconque non sym´ etrique en utilisant des m´ ethodes bas´ ees sur les
similitudes.
Il est int´ eressant de constater que le conditionnement d’un probl` eme aux
valeurs propres est invariant par transformation unitaire. En effet, soient
U ∈ C
n×n une matrice unitaire et
A = U
∗ AU. On note λ j une valeur propre de
A, κ j le conditionnement κ(λ j ) d´ efini en (5.11) et κ j le conditionnement de λ j
vue comme valeur propre de
A. Soient enfin {x k }, {y k } les vecteurs propres ` a
droite et `
a gauche de A. Clairement, {U
∗ x k }, {U
∗ y k } sont les vecteurs propres
` a droite et `
a gauche de
A. Ainsi, pour tout j = 1, . . . , n,
κ j =
y
∗
j UU
∗ x j
−1 = κ j ,
d’o` u on d´ eduit que la stabilit´ e du calcul de λ j n’est pas affect´ ee par des
transformations unitaires. On peut aussi v´ erifier que ce type de transformation
ne change pas les normes euclidiennes et les angles entre des vecteurs de C
n .
On a de plus l’estimation a priori suivante (voir [GL89], p. 317).
fl
X
−1 AX
= X
−1 AX + E,
E 2 uK 2 (X)A 2 ,
(5.12)
o` u fl(M) est la repr´ esentation machine de la matrice M et u est l’unit´ e d’arrondi (voir Section 2.5). Il d´ ecoule de (5.12) que l’utilisation de transformations par des matrices non unitaires dans un calcul de valeurs propres peut
entraˆ ıner des instabilit´ es li´ ees aux erreurs d’arrondi.
Nous terminons cette section avec un r´ esultat de stabilit´ e concernant l’approximation d’un vecteur propre associ´ e ` a une valeur propre simple. Avec les
mˆ emes hypoth` eses qu’au Th´ eor` eme 5.4, on peut montrer le r´ esultat suivant
(pour la preuve, voir [Atk89], Probl` eme 6, p. 649-650).
169
L’estimation (5.10) d´ ecoule alors de l’in´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz.
3
Remarquer que |y
∗ x| = | cos(θ λ )|, o` u θ λ est l’angle entre les vecteurs propres
y
∗ et x (les deux ayant une norme euclidienne ´ egale ` a 1). Ainsi, quand ces
deux vecteurs sont presque orthogonaux le calcul de la valeur propre λ devient
mal conditionn´ e. On peut donc prendre la quantit´ e
κ(λ) =
1
|y ∗ x|
=
1
| cos(θ λ )|
(5.11)
comme le conditionnement de la valeur propre λ. On a ´ evidemment κ(λ) ≥ 1 ;
quand A est une matrice normale, comme elle est unitairement semblable
` a une matrice diagonale, les vecteurs propres ` a gauche et ` a droite y et x
co¨ ıncident, ce qui implique κ(λ) = 1/x
2
2 = 1.
On peut interpr´ eter de mani` ere heuristique l’in´ egalit´ e (5.10) en disant que
des perturbations d’ordre δε dans les coefficients de la matrice A induisent
une modification d’ordre δλ = δε/| cos(θ λ )| dans les valeurs propres λ. Si on
consid` ere des matrices normales, le calcul de λ est un probl` eme bien conditionn´ e ; on verra dans les prochaines sections qu’on peut traiter le cas d’une
matrice quelconque non sym´ etrique en utilisant des m´ ethodes bas´ ees sur les
similitudes.
Il est int´ eressant de constater que le conditionnement d’un probl` eme aux
valeurs propres est invariant par transformation unitaire. En effet, soient
U ∈ C
n×n une matrice unitaire et
A = U
∗ AU. On note λ j une valeur propre de
A, κ j le conditionnement κ(λ j ) d´ efini en (5.11) et κ j le conditionnement de λ j
vue comme valeur propre de
A. Soient enfin {x k }, {y k } les vecteurs propres ` a
droite et `
a gauche de A. Clairement, {U
∗ x k }, {U
∗ y k } sont les vecteurs propres
` a droite et `
a gauche de
A. Ainsi, pour tout j = 1, . . . , n,
κ j =
y
∗
j UU
∗ x j
−1 = κ j ,
d’o` u on d´ eduit que la stabilit´ e du calcul de λ j n’est pas affect´ ee par des
transformations unitaires. On peut aussi v´ erifier que ce type de transformation
ne change pas les normes euclidiennes et les angles entre des vecteurs de C
n .
On a de plus l’estimation a priori suivante (voir [GL89], p. 317).
fl
X
−1 AX
= X
−1 AX + E,
E 2 uK 2 (X)A 2 ,
(5.12)
o` u fl(M) est la repr´ esentation machine de la matrice M et u est l’unit´ e d’arrondi (voir Section 2.5). Il d´ ecoule de (5.12) que l’utilisation de transformations par des matrices non unitaires dans un calcul de valeurs propres peut
entraˆ ıner des instabilit´ es li´ ees aux erreurs d’arrondi.
Nous terminons cette section avec un r´ esultat de stabilit´ e concernant l’approximation d’un vecteur propre associ´ e ` a une valeur propre simple. Avec les
mˆ emes hypoth` eses qu’au Th´ eor` eme 5.4, on peut montrer le r´ esultat suivant
(pour la preuve, voir [Atk89], Probl` eme 6, p. 649-650).