5.3 La m´ ethode de la puissance
173
En utilisant (5.18) et (5.20), on obtient
q
(k) =
α 1 λ
k
1 (x 1 + y
(k) )
α 1 λ k
1 (x 1 + y (k) ) 2
= µ k
x 1 + y
(k)
x 1 + y (k) 2
,
o` u µ k est le signe de α 1 λ
k
1 et y
(k) d´ esigne un vecteur qui tend vers z´ ero quand
k → ∞.
Le vecteur q
(k) s’aligne donc le long de la direction du vecteur propre x 1
quand k → ∞. On a de plus l’estimation d’erreur suivante `
a l’´ etape k :
Th´ eor` eme 5.6 Soit A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable dont les valeurs
propres satisfont (5.16). En supposant α 1 = 0, il existe une constante C > 0
telle que
˜ q
(k)
− x 1 2 ≤ C
λ 2
λ 1
k
,
k≥ 1 ,
(5.21)
o` u
˜
q
(k) =
q
(k)
A
k q
(0)
2
α 1 λ
k
1
= x 1 +
n
i=2
α i
α 1
λ i
λ 1
k
x i ,
k= 1, 2, . . .
(5.22)
D´ emonstration. On peut, sans perte de g´ en´ eralit´ e, supposer que les colonnes
de la matrice X ont une norme euclidienne ´ egale `
a 1, c’est-` a-dire xi2 = 1 pour
i = 1, . . . , n. D’apr` es (5.20), on a alors
+
n
i=2
αi
α1
λi
λ1
k
xi
− x12 =
n
i=2
αi
α1
λi
λ1
k
xi2
≤
n
i=2
αi
α1
2
λi
λ1
2k
1/2
≤
λ2
λ1
k
n
i=2
αi
α1
2
1/2
,
c’est-` a-dire (5.21) avec C =
n
i=2
(αi/α1)
2
1/2
.
3
L’estimation (5.21) exprime la convergence de la suite ˜
q
(k) vers x 1 . La suite
des quotients de Rayleigh
((˜ q
(k) )
∗ A˜ q
(k) )/˜ q
(k)
2
2 =
q
(k)
∗
Aq
(k) = ν
(k)
converge donc vers λ 1 . Par cons´ equent, lim k→∞ ν
(k) = λ 1 , et la convergence
est d’autant plus rapide que le quotient |λ 2 /λ 1 | est petit.
Si la matrice A est r´ eelle et sym´ etrique, on peut prouver, toujours en
supposant α 1 = 0, que (voir [GL89], p. 406-407)
|λ 1 − ν
(k)
| ≤ |λ 1 − λ n | tan
2 (θ 0 )
λ 2
λ 1
2k
,
(5.23)