5.2 Analyse de stabilit´ e et conditionnement
167
Th´ eor` eme 5.3 (Bauer-Fike) Si µ est une valeur propre de la matrice A +
E ∈ C
n×n , alors
min
λ∈σ(A)
|λ − µ| ≤ K p (X)E p ,
(5.8)
o` u · · p est une p-norme matricielle quelconque, et K p (X) = X p X
−1
p
est, par d´ efinition, le conditionnement du probl` eme aux valeurs propres de la
matrice A.
D´ emonstration. On commence par remarquer que si µ ∈ σ(A) alors (5.8) est
trivialement v´ erifi´ ee, puisque XpX
−1 pEp ≥ 0. Supposons dor´ enavant que µ ∈
σ(A). Par d´ efinition d’une valeur propre, la matrice (A + E − µI) est singuli` ere, ce
qui implique (rappelons que X est inversible) que la matrice X
−1 (A + E − µI)X =
D + X
−1 EX − µI est singuli` ere. Il existe donc un vecteur non nul x ∈ C
n tel que
(D − µI) + X
−1 EX
x = 0.
Comme µ ∈ σ(A), la matrice diagonale (D − µI) est inversible et on peut ´ ecrire la
pr´ ec´ edente ´ equation sous la forme
I + (D − µI)
−1 (X
−1 EX)
x = 0.
En prenant la norme · ·p et en proc´ edant comme dans la preuve du Th´ eor` eme 5.2,
on obtient
1 ≤ ≤(D − µI)
−1 pKp(X)Ep,
d’o` u d´ ecoule (5.8), puisque
(D − µI)
−1 p = ( min
λ∈σ(A)
|λ − µ|)
−1 .
3
Si A est une matrice normale, on d´ eduit du th´ eor` eme de d´ ecomposition de
Schur (voir Section 1.8) que la matrice de passage X est unitaire et donc
K 2 (X) = 1. Ceci implique
∀µ ∈ σ(A + E),
min
λ∈σ(A)
|λ − µ| ≤ ≤E 2 .
(5.9)
Le probl` eme aux valeurs propres est donc bien conditionn´ e par rapport `
a
l’erreur absolue. Mais ceci ne l’empˆ eche pas d’ˆ etre affect´ e par des erreurs
relatives significatives, tout particuli` erement quand A a un large spectre.
Exemple 5.2 Consid´ erons, pour 1 ≤ n ≤ 10, le calcul des valeurs propres de la
matrice de Hilbert Hn ∈ R
n×n (voir l’Exemple 3.1, Chapitre 3). Elle est sym´ etrique
(donc normale) et son conditionnement est tr` es grand pour n ≥ 4. Soit En ∈ R
n×n
une matrice dont les coefficients sont ´ egaux ` a η = 10
−3 . La Table 5.1 montre les
r´ esultats du calcul du minimum dans (5.9). Remarquer que l’erreur d´ ecroˆ ıt (la valeur
propre de plus petit module tendant vers z´ ero), tandis que l’erreur relative augmente
avec n ` a cause de la sensibilit´ e des “petites” valeurs propres aux erreurs d’arrondi. •
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Th´ eor` eme 5.3 (Bauer-Fike) Si µ est une valeur propre de la matrice A +
E ∈ C
n×n , alors
min
λ∈σ(A)
|λ − µ| ≤ K p (X)E p ,
(5.8)
o` u · · p est une p-norme matricielle quelconque, et K p (X) = X p X
−1
p
est, par d´ efinition, le conditionnement du probl` eme aux valeurs propres de la
matrice A.
D´ emonstration. On commence par remarquer que si µ ∈ σ(A) alors (5.8) est
trivialement v´ erifi´ ee, puisque XpX
−1 pEp ≥ 0. Supposons dor´ enavant que µ ∈
σ(A). Par d´ efinition d’une valeur propre, la matrice (A + E − µI) est singuli` ere, ce
qui implique (rappelons que X est inversible) que la matrice X
−1 (A + E − µI)X =
D + X
−1 EX − µI est singuli` ere. Il existe donc un vecteur non nul x ∈ C
n tel que
(D − µI) + X
−1 EX
x = 0.
Comme µ ∈ σ(A), la matrice diagonale (D − µI) est inversible et on peut ´ ecrire la
pr´ ec´ edente ´ equation sous la forme
I + (D − µI)
−1 (X
−1 EX)
x = 0.
En prenant la norme · ·p et en proc´ edant comme dans la preuve du Th´ eor` eme 5.2,
on obtient
1 ≤ ≤(D − µI)
−1 pKp(X)Ep,
d’o` u d´ ecoule (5.8), puisque
(D − µI)
−1 p = ( min
λ∈σ(A)
|λ − µ|)
−1 .
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Si A est une matrice normale, on d´ eduit du th´ eor` eme de d´ ecomposition de
Schur (voir Section 1.8) que la matrice de passage X est unitaire et donc
K 2 (X) = 1. Ceci implique
∀µ ∈ σ(A + E),
min
λ∈σ(A)
|λ − µ| ≤ ≤E 2 .
(5.9)
Le probl` eme aux valeurs propres est donc bien conditionn´ e par rapport `
a
l’erreur absolue. Mais ceci ne l’empˆ eche pas d’ˆ etre affect´ e par des erreurs
relatives significatives, tout particuli` erement quand A a un large spectre.
Exemple 5.2 Consid´ erons, pour 1 ≤ n ≤ 10, le calcul des valeurs propres de la
matrice de Hilbert Hn ∈ R
n×n (voir l’Exemple 3.1, Chapitre 3). Elle est sym´ etrique
(donc normale) et son conditionnement est tr` es grand pour n ≥ 4. Soit En ∈ R
n×n
une matrice dont les coefficients sont ´ egaux ` a η = 10
−3 . La Table 5.1 montre les
r´ esultats du calcul du minimum dans (5.9). Remarquer que l’erreur d´ ecroˆ ıt (la valeur
propre de plus petit module tendant vers z´ ero), tandis que l’erreur relative augmente
avec n ` a cause de la sensibilit´ e des “petites” valeurs propres aux erreurs d’arrondi. •