166
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
Exemple 5.1 Consid´ erons la matrice
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
10 2
3
−1 2 −1
0 1
3
⎤
⎥
⎥
⎦
dont le spectre est σ(A) = {9.687, 2.656 ± i0.693}. On peut utiliser l’estimation (5.1)
avec les valeurs suivantes de R A : A1 = 11, A2 = 10.72, A∞ = 15 et
AF = 11.36. L’estimation (5.2) donne quant `
a elle 1.96 ≤ Re(λ(A)) ≤ 10.34,
−2.34 ≤ Im(λ(A)) ≤ 2.34, et les disques “lignes” et “colonnes” sont R1 = {|z| : |z −
10| ≤ 5}, R2 = {|z| : |z−2| ≤ 2}, R3 = {|z| : |z−3| ≤ 1} et C1 = {|z| : |z−10| ≤ 1},
C2 = {|z| : |z − 2| ≤ 3}, C3 = {|z| : |z − 3| ≤ 4}.
On a dessin´ e sur la Figure 5.1, pour i = 1, 2, 3 les disques Ri et Ci ainsi que l’intersection SR ∩ SC (zone gris´ ee). En accord avec la Propri´ et´ e 5.2, on constate qu’une
valeur propre est contenue dans C1, qui est disjoint de C2 et C3, tandis que les autres
valeurs propres, d’apr` es la Propri´ et´ e 5.1, se trouvent dans l’ensemble R2 ∪ {C3 ∩ R1}.
•
2
Re(z)
3
1 0
C 3
C 2
C 1
R 3
R 2
R 1
Im(z)
Fig. 5.1. Disques lignes et colonnes de la matrice A de l’Exemple 5.1
5.2 Analyse de stabilit´ e et conditionnement
Dans cette section, nous ´ etablissons des estimations a priori et a posteriori
utiles `
a l’analyse de stabilit´ e du probl` eme de la d´ etermination des vecteurs
propres et valeurs propres d’une matrice. Cette pr´ esentation suit le plan du
Chapitre 2. Pour plus de d´ etails, voir [GL89], Chapitre 7.
5.2.1 Estimations a priori
Soit A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable et X = (x 1 , . . ., x n ) ∈ C
n×n la
matrice des vecteurs propres ` a droite de A. Par d´ efinition, D = X
−1 AX =
diag(λ 1 , . . . , λ n ), o` u les {λ i } sont les valeurs propres de A. Soit E ∈ C
n×n une
perturbation de A. On a le th´ eor` eme suivant :
5 Approximation des valeurs propres et des vecteurs propres
Exemple 5.1 Consid´ erons la matrice
A =
⎡
⎢
⎢
⎣
10 2
3
−1 2 −1
0 1
3
⎤
⎥
⎥
⎦
dont le spectre est σ(A) = {9.687, 2.656 ± i0.693}. On peut utiliser l’estimation (5.1)
avec les valeurs suivantes de R A : A1 = 11, A2 = 10.72, A∞ = 15 et
AF = 11.36. L’estimation (5.2) donne quant `
a elle 1.96 ≤ Re(λ(A)) ≤ 10.34,
−2.34 ≤ Im(λ(A)) ≤ 2.34, et les disques “lignes” et “colonnes” sont R1 = {|z| : |z −
10| ≤ 5}, R2 = {|z| : |z−2| ≤ 2}, R3 = {|z| : |z−3| ≤ 1} et C1 = {|z| : |z−10| ≤ 1},
C2 = {|z| : |z − 2| ≤ 3}, C3 = {|z| : |z − 3| ≤ 4}.
On a dessin´ e sur la Figure 5.1, pour i = 1, 2, 3 les disques Ri et Ci ainsi que l’intersection SR ∩ SC (zone gris´ ee). En accord avec la Propri´ et´ e 5.2, on constate qu’une
valeur propre est contenue dans C1, qui est disjoint de C2 et C3, tandis que les autres
valeurs propres, d’apr` es la Propri´ et´ e 5.1, se trouvent dans l’ensemble R2 ∪ {C3 ∩ R1}.
•
2
Re(z)
3
1 0
C 3
C 2
C 1
R 3
R 2
R 1
Im(z)
Fig. 5.1. Disques lignes et colonnes de la matrice A de l’Exemple 5.1
5.2 Analyse de stabilit´ e et conditionnement
Dans cette section, nous ´ etablissons des estimations a priori et a posteriori
utiles `
a l’analyse de stabilit´ e du probl` eme de la d´ etermination des vecteurs
propres et valeurs propres d’une matrice. Cette pr´ esentation suit le plan du
Chapitre 2. Pour plus de d´ etails, voir [GL89], Chapitre 7.
5.2.1 Estimations a priori
Soit A ∈ C
n×n une matrice diagonalisable et X = (x 1 , . . ., x n ) ∈ C
n×n la
matrice des vecteurs propres ` a droite de A. Par d´ efinition, D = X
−1 AX =
diag(λ 1 , . . . , λ n ), o` u les {λ i } sont les valeurs propres de A. Soit E ∈ C
n×n une
perturbation de A. On a le th´ eor` eme suivant :